Σ
SDCalc

Formules et méthodologie

Plongée approfondie dans les mathématiques de l'écart-type.

Dérivation mathématique

L'écart-type mesure la dispersion des points de données par rapport à leur moyenne. Il est obtenu en calculant la racine carrée de la moyenne des carrés des écarts par rapport à la moyenne.

σ = √[ Σ(xᵢ − μ)² / N ]  (population)
s = √[ Σ(xᵢ − x̄)² / (n − 1) ]  (échantillon)
  1. 1Calculez la moyenne (μ ou x̄) en additionnant toutes les valeurs et en divisant par le nombre total.
  2. 2Soustrayez la moyenne de chaque point de données pour trouver l'écart (xᵢ − μ).
  3. 3Élevez chaque écart au carré pour éliminer les valeurs négatives (xᵢ − μ)².
  4. 4Additionnez tous les carrés des écarts : Σ(xᵢ − μ)².
  5. 5Divisez par N (population) ou n−1 (échantillon) pour obtenir la variance.
  6. 6Prenez la racine carrée de la variance pour obtenir l'écart-type.

Explication de la correction de Bessel

Quand on estime la variance de la population à partir d'un échantillon, diviser par n produit une estimation biaisée qui sous-estime systématiquement la vraie variance. Friedrich Bessel a montré que diviser par (n − 1) au lieu de n corrige ce biais. L'intuition est qu'un échantillon de taille n a seulement (n − 1) degrés de liberté parce que la moyenne de l'échantillon est déjà utilisée dans le calcul, ce qui contraint un des écarts.

s² = Σ(xᵢ − x̄)² / (n − 1)  ← non biaisé
σ̂² = Σ(xᵢ − x̄)² / n  ← biaisé
  1. 1Avec n points de données, une fois la moyenne connue, seulement (n − 1) écarts sont libres de varier.
  2. 2Utiliser n au dénominateur tend à sous-estimer la variance de la population.
  3. 3Utiliser (n − 1) fournit un estimateur non biaisé : E[s²] = σ².
  4. 4Pour les grands échantillons (n > 30), la différence est négligeable.
  5. 5Pour les petits échantillons, la correction peut améliorer significativement l'estimation.

Guide de calcul visuel

Comprendre l'écart-type est plus facile avec une approche visuelle étape par étape. Prenons le jeu de données {4, 8, 6, 5, 3, 7, 8, 1}. La moyenne est 5,25. Chaque point de données s'écarte de la moyenne d'un montant différent. En élevant au carré ces écarts, en les additionnant, en divisant par (n − 1) = 7 et en prenant la racine carrée, on obtient l'écart-type d'échantillon s ≈ 2,49.

Data: {4, 8, 6, 5, 3, 7, 8, 1}
Mean: (4+8+6+5+3+7+8+1)/8 = 42/8 = 5.25
Σ(xᵢ−x̄)² = 1.5625 + 7.5625 + 0.5625 + 0.0625 + 5.0625 + 3.0625 + 7.5625 + 18.0625 = 43.5
s = √(43.5 / 7) ≈ 2.49
  1. 1Listez toutes les valeurs de données et calculez leur moyenne : x̄ = 5,25.
  2. 2Trouvez chaque écart : (4−5,25)=−1,25, (8−5,25)=2,75, (6−5,25)=0,75, ...
  3. 3Élevez chaque écart au carré : 1,5625, 7,5625, 0,5625, 0,0625, 5,0625, 3,0625, 7,5625, 18,0625.
  4. 4Additionnez les carrés des écarts : 43,5.
  5. 5Divisez par (n−1) = 7 : variance s² = 43,5/7 ≈ 6,21.
  6. 6Prenez la racine carrée : s ≈ 2,49.

Citation académique

Quand vous utilisez ce calculateur dans un travail académique, vous pouvez le citer comme suit. Le calculateur implémente les formules standard pour l'écart-type de population et d'échantillon telles que définies dans les manuels d'introduction à la statistique.

standarddeviationcalculator.app. (2025). Standard Deviation Calculator [Online tool]. https://standarddeviationcalculator.app
  1. 1APA: standarddeviationcalculator.app. (2025). Standard Deviation Calculator [Online tool]. Retrieved from https://standarddeviationcalculator.app
  2. 2MLA: "Standard Deviation Calculator." standarddeviationcalculator.app, 2025, standarddeviationcalculator.app.
  3. 3Chicago: standarddeviationcalculator.app. "Standard Deviation Calculator." Accessed 2025. https://standarddeviationcalculator.app.
  4. 4IEEE: standarddeviationcalculator.app, "Standard Deviation Calculator," 2025. [Online]. Available: https://standarddeviationcalculator.app