Τι είναι ένα Διάστημα Εμπιστοσύνης;
Ένα διάστημα εμπιστοσύνης (ΔΕ) είναι ένα εύρος τιμών που πιθανόν περιέχει την πραγματική παράμετρο του πληθυσμού. Αντί να δίνει μια μόνο σημειακή εκτίμηση, το ΔΕ αναγνωρίζει την αβεβαιότητα παρέχοντας ένα εύρος.
“Είμαστε 95% βέβαιοι ότι ο πραγματικός μέσος βρίσκεται μεταξύ 48,2 και 51,8”
95% ΔΕ: [48,2, 51,8]
Ο Τύπος
Το διάστημα εμπιστοσύνης για τον πληθυσμιακό μέσο είναι:
Τύπος Διαστήματος Εμπιστοσύνης
CI = x̄ ± z* × (σ / √n)
- x̄ = δειγματικός μέσος
- z* = κρίσιμη τιμή (1,96 για 95% ΔΕ)
- σ = τυπική απόκλιση
- n = μέγεθος δείγματος
- σ/√n = τυπικό σφάλμα
| Επίπεδο Εμπιστοσύνης | Τιμή z* |
|---|---|
| 90% | 1,645 |
| 95% | 1,960 |
| 99% | 2,576 |
Σωστή Ερμηνεία
Συνήθης Παρανόηση
Ένα 95% ΔΕ ΔΕΝ σημαίνει “υπάρχει 95% πιθανότητα ο πραγματικός μέσος να βρίσκεται σε αυτό το διάστημα”. Ο πραγματικός μέσος είτε βρίσκεται είτε δεν βρίσκεται στο διάστημα — είναι σταθερός.
Σωστή Ερμηνεία
“Αν επαναλαμβάναμε αυτή τη δειγματοληπτική διαδικασία πολλές φορές, το 95% των υπολογισμένων διαστημάτων θα περιείχε τον πραγματικό πληθυσμιακό μέσο.”
Λυμένα Παραδείγματα
Παράδειγμα: Ικανοποίηση Πελατών
Ερωτάτε 100 πελάτες και βρίσκετε μέσο βαθμό ικανοποίησης 7,5 με τυπική απόκλιση 1,5. Υπολογίστε το 95% ΔΕ.
1
Βρείτε το τυπικό σφάλμα
SE = 1,5 / √100 = 0,15
2
Υπολογίστε το περιθώριο σφάλματος
ME = 1,96 × 0,15 = 0,294
3
Κατασκευάστε το διάστημα
ΔΕ = 7,5 ± 0,294 = [7,21, 7,79]
Ερμηνεία: Είμαστε 95% βέβαιοι ότι ο πραγματικός μέσος ικανοποίησης πελατών βρίσκεται μεταξύ 7,21 και 7,79.
Τι Επηρεάζει το Πλάτος του ΔΕ;
Μέγεθος Δείγματος (n)
Μεγαλύτερο n = στενότερο ΔΕ
Περισσότερα δεδομένα = μεγαλύτερη ακρίβεια
Τυπική Απόκλιση (σ)
Μεγαλύτερη σ = ευρύτερο ΔΕ
Περισσότερη μεταβλητότητα = λιγότερη βεβαιότητα
Επίπεδο Εμπιστοσύνης
Υψηλότερη εμπιστοσύνη = ευρύτερο ΔΕ
Το 99% ΔΕ είναι ευρύτερο από το 95% ΔΕ