Σ
SDCalc

Τύποι & Μεθοδολογία

Εμβάθυνση στα μαθηματικά πίσω από την τυπική απόκλιση.

Μαθηματική Παραγωγή

Η τυπική απόκλιση μετράει τη διασπορά των σημείων δεδομένων από τον μέσο τους. Παράγεται υπολογίζοντας την τετραγωνική ρίζα του μέσου τετραγώνου της απόκλισης από τον μέσο.

σ = √[ Σ(xᵢ − μ)² / N ]  (population)
s = √[ Σ(xᵢ − x̄)² / (n − 1) ]  (sample)
  1. 1Υπολογίστε τον μέσο (μ ή x̄) αθροίζοντας όλες τις τιμές και διαιρώντας με τον αριθμό τους.
  2. 2Αφαιρέστε τον μέσο από κάθε σημείο δεδομένων για να βρείτε την απόκλιση (xᵢ − μ).
  3. 3Υψώστε κάθε απόκλιση στο τετράγωνο για να εξαλείψετε τις αρνητικές τιμές (xᵢ − μ)².
  4. 4Αθροίστε όλα τα τετράγωνα των αποκλίσεων: Σ(xᵢ − μ)².
  5. 5Διαιρέστε με N (πληθυσμός) ή n−1 (δείγμα) για να πάρετε τη διακύμανση.
  6. 6Πάρτε την τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης για να πάρετε την τυπική απόκλιση.

Εξήγηση της Διόρθωσης Bessel

Κατά την εκτίμηση της διακύμανσης πληθυσμού από ένα δείγμα, η διαίρεση με n παράγει μια μεροληπτική εκτίμηση που συστηματικά υποεκτιμά την πραγματική διακύμανση. Ο Friedrich Bessel έδειξε ότι η διαίρεση με (n − 1) αντί n διορθώνει αυτή τη μεροληψία. Η διαίσθηση είναι ότι ένα δείγμα μεγέθους n έχει μόνο (n − 1) βαθμούς ελευθερίας επειδή ο δειγματικός μέσος χρησιμοποιείται ήδη στον υπολογισμό, περιορίζοντας μία από τις αποκλίσεις.

s² = Σ(xᵢ − x̄)² / (n − 1)  ← unbiased
σ̂² = Σ(xᵢ − x̄)² / n  ← biased
  1. 1Με n σημεία δεδομένων, μόλις ο μέσος είναι γνωστός, μόνο (n − 1) αποκλίσεις είναι ελεύθερες να μεταβληθούν.
  2. 2Η χρήση n στον παρονομαστή τείνει να υποεκτιμά τη διακύμανση του πληθυσμού.
  3. 3Η χρήση (n − 1) παρέχει αμερόληπτο εκτιμητή: E[s²] = σ².
  4. 4Για μεγάλα δείγματα (n > 30), η διαφορά είναι αμελητέα.
  5. 5Για μικρά δείγματα, η διόρθωση μπορεί να βελτιώσει σημαντικά την εκτίμηση.

Οπτικός Οδηγός Υπολογισμού

Η κατανόηση της τυπικής απόκλισης είναι ευκολότερη με μια βήμα προς βήμα οπτική προσέγγιση. Σκεφτείτε το σύνολο δεδομένων {4, 8, 6, 5, 3, 7, 8, 1}. Ο μέσος είναι 5,25. Κάθε σημείο δεδομένων αποκλίνει από τον μέσο κατά διαφορετικό ποσό. Υψώνοντας στο τετράγωνο αυτές τις αποκλίσεις, αθροίζοντάς τες, διαιρώντας με (n − 1) = 7 και παίρνοντας την τετραγωνική ρίζα, παίρνουμε τη δειγματική τυπική απόκλιση s ≈ 2,49.

Data: {4, 8, 6, 5, 3, 7, 8, 1}
Mean: (4+8+6+5+3+7+8+1)/8 = 42/8 = 5.25
Σ(xᵢ−x̄)² = 1.5625 + 7.5625 + 0.5625 + 0.0625 + 5.0625 + 3.0625 + 7.5625 + 18.0625 = 43.5
s = √(43.5 / 7) ≈ 2.49
  1. 1Καταγράψτε όλες τις τιμές δεδομένων και υπολογίστε τον μέσο τους: x̄ = 5,25.
  2. 2Βρείτε κάθε απόκλιση: (4−5,25)=−1,25, (8−5,25)=2,75, (6−5,25)=0,75, ...
  3. 3Υψώστε κάθε απόκλιση στο τετράγωνο: 1,5625, 7,5625, 0,5625, 0,0625, 5,0625, 3,0625, 7,5625, 18,0625.
  4. 4Αθροίστε τα τετράγωνα των αποκλίσεων: 43,5.
  5. 5Διαιρέστε με (n−1) = 7: διακύμανση s² = 43,5/7 ≈ 6,21.
  6. 6Πάρτε την τετραγωνική ρίζα: s ≈ 2,49.

Ακαδημαϊκή Αναφορά

Όταν χρησιμοποιείτε αυτόν τον υπολογιστή σε ακαδημαϊκή εργασία, μπορείτε να τον αναφέρετε ως εξής. Ο υπολογιστής υλοποιεί τους τυπικούς τύπους τόσο για την πληθυσμιακή όσο και για τη δειγματική τυπική απόκλιση, όπως ορίζονται στα εισαγωγικά εγχειρίδια στατιστικής.

standarddeviationcalculator.app. (2025). Standard Deviation Calculator [Online tool]. https://standarddeviationcalculator.app
  1. 1APA: standarddeviationcalculator.app. (2025). Standard Deviation Calculator [Online tool]. Retrieved from https://standarddeviationcalculator.app
  2. 2MLA: "Standard Deviation Calculator." standarddeviationcalculator.app, 2025, standarddeviationcalculator.app.
  3. 3Chicago: standarddeviationcalculator.app. "Standard Deviation Calculator." Accessed 2025. https://standarddeviationcalculator.app.
  4. 4IEEE: standarddeviationcalculator.app, "Standard Deviation Calculator," 2025. [Online]. Available: https://standarddeviationcalculator.app