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SDCalc
ExperteFortgeschritten·14 min

Gewichtete Standardabweichung

Erfahren Sie, wie die gewichtete Standardabweichung berechnet wird, wenn Datenpunkte unterschiedliche Bedeutung oder Häufigkeiten haben.

Was ist die gewichtete Standardabweichung?

Wenn Datenpunkte unterschiedliche Bedeutung haben oder verschiedene Häufigkeiten darstellen, verwenden wir die gewichtete Standardabweichung. Dies ist üblich bei Portfolioanalysen, Umfragedaten mit Gewichtungsfaktoren und Notendurchschnittsberechnungen.

Bei der ungewichteten Standardberechnung trägt jeder Datenpunkt gleichermaßen zum Mittelwert und zur Standardabweichung bei. In der Praxis muss jedoch häufig bestimmten Beobachtungen mehr Einfluss eingeräumt werden. Eine Investition von 1 Million Euro sollte die Volatilitätsberechnung Ihres Portfolios stärker beeinflussen als eine Position von 1.000 Euro. Eine Umfrageantwort aus einer größeren demografischen Gruppe sollte bei der Schätzung von Populationsparametern mehr Gewicht haben.

Wann gewichtete SD verwenden

Verwenden Sie die gewichtete Standardabweichung, wenn Ihre Datenpunkte unterschiedliche Wichtigkeit, Häufigkeiten oder Zuverlässigkeitsstufen haben. Die ungewichtete SD nimmt an, dass alle Punkte gleich wichtig sind — was oft eine falsche Annahme ist.

Die Formel der gewichteten SD

Zunächst benötigen Sie den gewichteten Mittelwert:

Gewichteter Mittelwert

x̄w = Σ(wᵢxᵢ) / Σwᵢ

Dann die gewichtete Standardabweichung (Populationsversion):

Gewichtete Standardabweichung (Population)

σw = √[Σwᵢ(xᵢ - x̄w)² / Σwᵢ]

Dabei sind wᵢ die Gewichte, xᵢ die Datenwerte und x̄w der gewichtete Mittelwert.

Für Stichprobendaten verwenden Sie die verzerrungskorrigierte Formel (analog zur Bessel-Korrektur):

Gewichtete Standardabweichung (Stichprobe)

sw = √[Σwᵢ(xᵢ - x̄w)² / (Σwᵢ - Σwᵢ²/Σwᵢ)]

Die Stichprobenkorrektur ist komplexer, da die "effektive Stichprobengröße" von der Verteilung der Gewichte abhängt. Bei gleichen Gewichten reduziert sich die Formel auf die bekannte n-1-Korrektur.

Schritt-für-Schritt-Berechnung

1

Gewichteten Mittelwert berechnen

Jeden Wert mit seinem Gewicht multiplizieren, die Produkte summieren und durch die Summe der Gewichte teilen.
2

Gewichtete quadrierte Abweichungen berechnen

Für jeden Wert (Wert - gewichteter Mittelwert)² berechnen und dann mit dem Gewicht multiplizieren.
3

Gewichtete quadrierte Abweichungen summieren

Alle Produkte aus Schritt 2 addieren.
4

Durch die Summe der Gewichte teilen

Für die Populations-SD durch Σwᵢ teilen. Für die Stichproben-SD die Verzerrungskorrektur verwenden.
5

Quadratwurzel ziehen

Das Ergebnis ist die gewichtete Standardabweichung.

Praxisanwendungen

Portfoliovolatilität: In der Finanzwelt muss die Standardabweichung eines Portfolios unterschiedliche Gewichtungen berücksichtigen. Die Volatilität eines Portfolios mit 50 % Aktien und 50 % Anleihen wird mithilfe der gewichteten SD berechnet, wobei die Gewichte den Allokationsprozentsätzen entsprechen.

Umfrageanalyse: Umfragestichproben über- oder unterrepräsentieren häufig bestimmte demografische Gruppen. Die Gewichtung korrigiert dies und stellt sicher, dass die Ergebnisse die tatsächliche Population widerspiegeln. Die gewichtete SD erfasst die Variabilität in der Population, nicht nur in der Stichprobe.

Akademische Notengebung: Bei der Berechnung des Notendurchschnitts haben verschiedene Kurse unterschiedliche Kreditpunkte. Ein 4-Kreditpunkte-Kurs sollte Ihren Durchschnitt stärker beeinflussen als ein 1-Kreditpunkte-Kurs. Gewichtete Berechnungen handhaben dies natürlich.

Meta-Analyse: Bei der Zusammenführung von Ergebnissen mehrerer Studien wird jede Studie nach ihrer Präzision gewichtet (oft inverse Varianz). So erhalten größere, präzisere Studien mehr Einfluss.

Rechenbeispiele

Portfoliobeispiel: Betrachten Sie ein Portfolio mit drei Aktien:

  • Aktie A: 15 % Rendite, 50 % Allokation (Gewicht = 0,50)
  • Aktie B: 8 % Rendite, 30 % Allokation (Gewicht = 0,30)
  • Aktie C: -2 % Rendite, 20 % Allokation (Gewicht = 0,20)

Gewichteter Mittelwert = (0,50×15 + 0,30×8 + 0,20×(-2)) / 1,0 = 9,5 %

Gewichtete SD = √[(0,50×(15-9,5)² + 0,30×(8-9,5)² + 0,20×(-2-9,5)²)] = √[(0,50×30,25 + 0,30×2,25 + 0,20×132,25)] = √[15,125 + 0,675 + 26,45] = √42,25 = 6,5 %

Beachten Sie die Auswirkung

Aktie C hat nur 20 % Allokation, trägt aber erheblich zur Volatilität bei, weil ihre Rendite stark vom gewichteten Mittelwert abweicht. Genau das erfasst die gewichtete SD — sowohl die Abweichung als auch das Gewicht spielen eine Rolle.
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