Standardabweichung Formel erklärt: Schritt-für-Schritt-Anleitung

Was ist die Formel der Standardabweichung?

Die Formel der Standardabweichung ist die mathematische Gleichung, mit der die Streuung oder Variabilität innerhalb eines Datensatzes quantifiziert wird. Eine niedrige Standardabweichung zeigt an, dass die Datenpunkte nah am Mittelwert (μ oder x̄) liegen, während eine hohe Standardabweichung darauf hindeutet, dass die Werte über einen breiteren Bereich streuen.

In der Statistik hängt die Wahl der Formel davon ab, ob Sie mit einer Grundgesamtheit oder einer daraus gezogenen Stichprobe arbeiten. Das Kernkonzept besteht darin, den Durchschnitt der quadrierten Abweichungen vom Mittelwert zu berechnen – die sogenannte Varianz (σ²) – und anschließend die Quadratwurzel zu ziehen, um wieder in die ursprünglichen Maßeinheiten zu gelangen.

• σ (Sigma): Standardabweichung der Grundgesamtheit
• Σ (Sigma): Summe über...
• xi: Jeder einzelne Wert im Datensatz
• μ (Mü): Mittelwert der Grundgesamtheit
• N: Gesamtzahl der Datenpunkte in der Grundgesamtheit

Standardabweichung der Grundgesamtheit vs. Stichprobe

In der Datenanalyse in der Praxis hat man selten Daten einer gesamten Grundgesamtheit zur Verfügung. Meistens ziehen wir eine Stichprobe, um Rückschlüsse auf die größere Grundgesamtheit zu ziehen. Da eine Stichprobe den Mittelwert der Grundgesamtheit nur schätzt, unterschätzt die Berechnung der Standardabweichung mithilfe der Formel für die Grundgesamtheit auf eine Stichprobe die tatsächliche Streuung systematisch. Um diesen Bias zu korrigieren, verwenden wir die Formel für die Stichproben-Standardabweichung.

Schritt-für-Schritt-Berechnung der Formel

Die manuelle Berechnung der Standardabweichung erfordert ein systematisches Vorgehen. Mit diesen Schritten können Sie die Standardabweichung für Grundgesamtheit oder Stichprobe für jeden Datensatz präzise berechnen.

Warum teilt die Stichprobenformel durch n-1?

Die Division durch n-1 anstelle von n ist ein Konzept, das als Besselsche Korrektur bekannt ist. Da der Stichprobenmittelwert (x̄) aus den Stichprobendaten selbst berechnet wird, ist die Summe der Abweichungen (xi - x̄) mathematisch gezwungenermaßen null. Das bedeutet, dass die Datenpunkte etwas näher am Stichprobenmittelwert liegen als am wahren Mittelwert der Grundgesamtheit (μ).

Indem wir durch n-1 (die Freiheitsgrade) teilen, vergrößern wir die Varianz gerade so weit, dass diese Unterschätzung ausgeglichen wird, und erhalten somit einen erwartungstreuen Schätzer der Varianz der Grundgesamtheit.