Cohen's d 与效应量计算

超越统计显著性：理解效应量

效应量衡量的是差异或关系的大小，与样本量无关。虽然 p 值告诉你某个效应是否具有统计显著性，但效应量告诉你这个效应在实际中有多重要。这种区分对于研究、医学、教育和商业中的循证决策至关重要。

假设一项临床试验显示新药相比安慰剂有统计学上显著的改善（p < 0.001）。如果没有效应量，你不知道这种改善是 0.1% 还是 50%。效应量提供了这一关键背景，帮助利益相关者判断该效应是否值得付出成本、副作用或实施努力。

比较两组最常用的效应量指标是 Cohen's d，它以标准差为单位表达均值差异。这种标准化使得不同研究和测量尺度之间的比较成为可能。

为什么效应量很重要

统计显著性深受样本量的影响。样本足够大时，即使微不足道的差异也能“显著”。相反，重要的效应在小样本中可能达不到显著性。效应量通过提供一个不受样本量影响的指标来解决这个问题。

使用效应量的关键原因：

• 荟萃分析：可以将不同研究的效应量合并以估计总体效应
• 统计功效分析：计算未来研究所需的样本量时必不可少
• 实际决策：帮助判断干预措施是否值得实施
• 可重复性：为重复研究提供可匹配的目标

Cohen's d：标准效应量指标

Cohen's d 以合并标准差为单位表达两组均值的差异：

其中 M₁ 和 M₂ 是组均值，sp 是合并标准差，计算方式为：

d 的正负号表示方向：M₁ > M₂ 时为正，M₁ < M₂ 时为负。当方向从上下文已经明确时，通常报告绝对值 |d|。

其他效应量指标

虽然 Cohen's d 最为常用，但特定情况下有替代方案：

Hedges' g：偏差校正的效应量

Cohen's d 在小样本中会略微高估总体效应量。Hedges' g 应用了一个校正因子：

当每组样本量超过 20 时，两者差异可以忽略。对于小样本（n < 20），推荐使用 Hedges' g。

Glass's Δ：方差不等时使用

当其中一组是方差已知的对照组时，仅使用对照组的标准差作为分母：

当处理可能影响方差时（例如，某项干预对低水平学生帮助大于高水平学生），此方法特别有用。

效应量的解读：Cohen 的参考标准

Jacob Cohen 提出了以下解读 d 值的参考标准：

计算示例：教育干预

一所学校测试一个新的阅读课程。对照组 (n=25)：均值=72，标准差=12。实验组 (n=30)：均值=79，标准差=14。计算 Cohen's d：

这意味着如果从实验组和对照组中各随机选一名学生，实验组学生得分更高的概率约为 64%（根据重叠度计算）。

Python 实现

通过编程计算效应量及其置信区间：

import numpy as np
from scipy import stats

def cohens_d(group1, group2):
    """Calculate Cohen's d for two independent groups."""
    n1, n2 = len(group1), len(group2)
    var1, var2 = np.var(group1, ddof=1), np.var(group2, ddof=1)

    # Pooled standard deviation
    pooled_std = np.sqrt(((n1-1)*var1 + (n2-1)*var2) / (n1+n2-2))

    # Cohen's d
    d = (np.mean(group1) - np.mean(group2)) / pooled_std
    return d

def hedges_g(group1, group2):
    """Calculate Hedges' g (bias-corrected effect size)."""
    n1, n2 = len(group1), len(group2)
    d = cohens_d(group1, group2)

    # Correction factor for small sample bias
    correction = 1 - 3 / (4*(n1+n2) - 9)
    return d * correction

# Example usage
control = [68, 72, 75, 70, 69, 74, 71, 73, 76, 72]
treatment = [75, 79, 82, 78, 80, 77, 81, 76, 83, 79]

d = cohens_d(treatment, control)
g = hedges_g(treatment, control)
print(f"Cohen's d: {d:.3f}")
print(f"Hedges' g: {g:.3f}")