Geometryczne odchylenie standardowe: kompletny przewodnik

Kiedy stosować geometryczne odchylenie standardowe

Geometryczne odchylenie standardowe (GSD) jest odpowiednią miarą rozproszenia dla danych o charakterze multiplikatywnym, a nie addytywnym — takich jak stopy wzrostu, wskaźniki, stężenia czy dowolne pomiary o rozkładzie logarytmiczno-normalnym.

Rozważ stopy zwrotu z akcji: zysk 10% po którym następuje strata 10% nie przywraca stanu wyjściowego (zostaje 99% kwoty początkowej). Te multiplikatywne zależności wymagają statystyk geometrycznych zamiast arytmetycznych.

Dane logarytmiczno-normalne

Dane mają rozkład logarytmiczno-normalny, gdy ich logarytm naturalny ma rozkład normalny. Typowe przykłady to:

• Ceny akcji i stopy zwrotu z inwestycji w czasie
• Rozkłady dochodów i majątku
• Wielkości cząstek w aerozolach i farmaceutykach
• Liczebność kolonii bakteryjnych i ładunki wirusowe
• Stężenia zanieczyszczeń środowiskowych
• Miana przeciwciał i stężenia leków

Kluczowa cecha: procesy obejmujące wielokrotne mnożenie generują rozkłady logarytmiczno-normalne, podobnie jak wielokrotne dodawanie generuje rozkłady normalne.

Wzór i obliczenia

Mówiąc prościej: oblicz logarytm naturalny wszystkich wartości, oblicz zwykłe odchylenie standardowe, a następnie zastosuj funkcję wykładniczą.

import numpy as np
from scipy import stats

def geometric_sd(data):
    """Calculate geometric standard deviation"""
    log_data = np.log(data)
    sd_log = np.std(log_data, ddof=1)
    return np.exp(sd_log)

def geometric_mean(data):
    """Calculate geometric mean"""
    return stats.gmean(data)

# Example: Antibody titers (highly variable, log-normal)
titers = [64, 128, 256, 128, 512, 64, 256]
gm = geometric_mean(titers)
gsd = geometric_sd(titers)
print(f"Geometric Mean: {gm:.1f}")
print(f"Geometric SD: {gsd:.2f}")

Interpretacja wartości GSD

W przeciwieństwie do arytmetycznego odchylenia wyrażonego w tych samych jednostkach co dane, GSD jest czynnikiem multiplikatywnym — proporcją. GSD równe 2,0 oznacza, że dane typowo zmieniają się dwukrotnie.

• GSD = 1,0:Brak zmienności (w praktyce niemożliwe)
• GSD ≈ 1,2:Niska zmienność (±20% typowe)
• GSD ≈ 2,0:Umiarkowana zmienność (dane podwajają się/zmniejszają o połowę)
• GSD ≈ 3,0:Wysoka zmienność (obejmuje rząd wielkości)

Zastosowania w praktyce

GSD a zwykłe odchylenie standardowe

Użycie arytmetycznego odchylenia dla danych logarytmiczno-normalnych daje mylące wyniki: