加重標準偏差

加重標準偏差とは？

データ点の重要度が異なる場合や、異なる頻度を表す場合には、加重標準偏差を使用します。ポートフォリオ分析、サンプリングウェイト付きの調査データ、GPA計算などでよく使われます。

通常の（非加重）計算では、すべてのデータ点が平均や標準偏差に等しく寄与します。しかし、実世界では一部の観測値に他より大きな影響力を与える必要がある場面が多くあります。100万ドルの投資はポートフォリオのボラティリティ計算において、1,000ドルのポジションよりも大きな影響を持つべきです。より大きな人口統計グループからの調査回答は、母集団パラメータを推定する際により大きなウェイトを持つべきです。

加重標準偏差の公式

まず、加重平均を求めます。

次に、加重標準偏差（母集団版）を求めます。

ここでwᵢは各重み、xᵢはデータの値、x̄wは加重平均です。

標本データの場合は、バイアス補正公式（ベッセルの補正に相当）を使用します。

標本補正がより複雑なのは、「有効標本サイズ」が重みの分布に依存するためです。すべての重みが等しい場合、これはおなじみのn-1補正に帰着します。

ステップごとの計算

実世界での応用

ポートフォリオのボラティリティ： 金融では、ポートフォリオの標準偏差は異なる資産配分を考慮しなければなりません。株式50%、債券50%のポートフォリオのボラティリティは、配分比率を重みとした加重SDで計算されます。

調査分析： 調査標本では、特定の人口統計グループが過大または過小に代表されることがよくあります。ウェイティングでこれを調整し、結果が真の母集団を反映するようにします。加重SDは標本だけでなく、母集団のばらつきを捉えます。

成績評価： GPAの計算では、科目によって単位数が異なります。4単位の科目は1単位の科目よりもGPAに大きく影響するべきです。加重計算はこれを自然に扱います。

メタ分析： 複数の研究結果を統合する場合、各研究はその精度（多くの場合、分散の逆数）で加重されます。これにより、より大規模で精密な研究により大きな影響力を与えます。

計算例

ポートフォリオの例： 3銘柄のポートフォリオを考えましょう。

• 株式A：リターン15%、配分50%（重み = 0.50）
• 株式B：リターン8%、配分30%（重み = 0.30）
• 株式C：リターン-2%、配分20%（重み = 0.20）

加重平均 = (0.50×15 + 0.30×8 + 0.20×(-2)) / 1.0 = 9.5%

加重SD = √[(0.50×(15-9.5)² + 0.30×(8-9.5)² + 0.20×(-2-9.5)²)] = √[(0.50×30.25 + 0.30×2.25 + 0.20×132.25)] = √[15.125 + 0.675 + 26.45] = √42.25 = 6.5%