Σ
SDCalc

公式と方法論

標準偏差の背後にある数学の詳細。

数学的導出

標準偏差は、データ点が平均からどれだけ分散しているかを測定します。平均からの偏差の二乗の平均の平方根を計算することで得られます。

σ = √[ Σ(xᵢ − μ)² / N ]  (population)
s = √[ Σ(xᵢ − x̄)² / (n − 1) ]  (sample)
  1. 1すべての値を合計して個数で割り、平均（μまたはx̄）を計算します。
  2. 2各データ点から平均を引いて偏差（xᵢ − μ）を求めます。
  3. 3負の値を消すために各偏差を二乗します（xᵢ − μ）²。
  4. 4すべての偏差の二乗を合計します：Σ(xᵢ − μ)²。
  5. 5N（母集団）またはn−1（標本）で割って分散を求めます。
  6. 6分散の平方根をとって標準偏差を求めます。

ベッセルの補正の説明

標本から母集団の分散を推定する際、nで割ると真の分散を系統的に過小評価する偏りのある推定値が得られます。フリードリヒ・ベッセルは、nの代わりに（n − 1）で割ることでこの偏りが補正されることを示しました。直感的には、サイズnの標本は（n − 1）の自由度しか持たないためです。これは、標本平均がすでに計算に使用されており、偏差の1つを制約しているからです。

s² = Σ(xᵢ − x̄)² / (n − 1)  ← 不偏
σ̂² = Σ(xᵢ − x̄)² / n  ← 偏り有り
  1. 1n個のデータ点がある場合、平均が判明すると（n − 1）個の偏差のみが自由に変化できます。
  2. 2分母にnを使用すると、母集団の分散を過小評価する傾向があります。
  3. 3（n − 1）を使用すると不偏推定量が得られます：E[s²] = σ²。
  4. 4大きな標本（n > 30）では、その差はわずかです。
  5. 5小さな標本では、補正により推定が大幅に改善される可能性があります。

視覚的計算ガイド

標準偏差の理解は、ステップバイステップの視覚的アプローチで容易になります。データセット{4, 8, 6, 5, 3, 7, 8, 1}を考えましょう。平均は5.25です。各データ点は異なる量だけ平均から偏差しています。これらの偏差を二乗し、合計し、（n − 1）= 7で割り、平方根をとると、標本標準偏差s ≈ 2.49が得られます。

Data: {4, 8, 6, 5, 3, 7, 8, 1}
Mean: (4+8+6+5+3+7+8+1)/8 = 42/8 = 5.25
Σ(xᵢ−x̄)² = 1.5625 + 7.5625 + 0.5625 + 0.0625 + 5.0625 + 3.0625 + 7.5625 + 18.0625 = 43.5
s = √(43.5 / 7) ≈ 2.49
  1. 1すべてのデータ値をリストし、平均を計算します：x̄ = 5.25。
  2. 2各偏差を求めます：(4−5.25)=−1.25, (8−5.25)=2.75, (6−5.25)=0.75, ...
  3. 3各偏差を二乗します：1.5625, 7.5625, 0.5625, 0.0625, 5.0625, 3.0625, 7.5625, 18.0625。
  4. 4偏差の二乗を合計します：43.5。
  5. 5(n−1) = 7で割ります：分散 s² = 43.5/7 ≈ 6.21。
  6. 6平方根をとります：s ≈ 2.49。

学術引用

この計算機を学術研究で使用する場合、以下のように引用できます。この計算機は、統計学入門の教科書で定義されている母集団および標本の標準偏差の標準公式を実装しています。

standarddeviationcalculator.app. (2025). Standard Deviation Calculator [Online tool]. https://standarddeviationcalculator.app
  1. 1APA: standarddeviationcalculator.app. (2025). Standard Deviation Calculator [Online tool]. Retrieved from https://standarddeviationcalculator.app
  2. 2MLA: "Standard Deviation Calculator." standarddeviationcalculator.app, 2025, standarddeviationcalculator.app.
  3. 3Chicago: standarddeviationcalculator.app. "Standard Deviation Calculator." Accessed 2025. https://standarddeviationcalculator.app.
  4. 4IEEE: standarddeviationcalculator.app, "Standard Deviation Calculator," 2025. [Online]. Available: https://standarddeviationcalculator.app