概要
仮説検定は、標本データに基づいて母集団について判断を下す統計的手法です。標準偏差は、観察された差が統計的に有意なのか、それとも単なる偶然によるものなのかを判断する上で重要な役割を果たします。
1
仮説を立てる
帰無仮説 (H₀) と対立仮説 (H₁) を設定する
2
有意水準を選ぶ
有意水準 (α) を選択する（通常は0.05）
3
検定統計量を計算する
標準偏差を使って検定統計量を計算する
4
臨界値と比較する
臨界値と比較するか、p値を計算する
5
判断を下す
H₀を棄却するか、棄却しないかを判断する
Z検定
母集団の標準偏差 (σ) がわかっていて、標本サイズが大きい（n ≥ 30）場合にZ検定を使用します。
Z検定統計量
z = (x̄ - μ₀) / (σ / √n)
例
あるメーカーが、電池の寿命は平均100時間だと主張しています (μ₀ = 100)。36本の電池をテストしたところ、x̄ = 98時間でした。σ = 12時間の場合：
z = (98 - 100) / (12 / √36) = -2 / 2 = -1
z = -1、α = 0.05（両側検定）では、H₀を棄却しません。この差は統計的に有意ではありません。
t検定
母集団の標準偏差がわからず、標本から推定する必要がある場合（σの代わりにsを使用）にt検定を使用します。
t検定統計量
t = (x̄ - μ₀) / (s / √n)
t検定とZ検定の使い分け
- Z検定： σが既知、n ≥ 30
- t検定： σが未知（sを使用）、標本サイズは問わない
実際には、真の母集団のσがわかることは稀なため、t検定の方がはるかに一般的です。
標準誤差
標準誤差 (SE) は、標本平均が母集団平均からどれくらい変動するかを測る指標です。標準偏差と仮説検定をつなぐ重要な概念です。
平均の標準誤差
SE = σ / √n （標本標準偏差を使う場合は s / √n）
標準誤差は標本サイズが大きくなるにつれて小さくなります。標本が大きいほど、より精密な推定が可能になり、真の差を検出しやすくなります。
統計的有意性
結果が偶然に観察される確率（p値）が、設定した閾値 (α) を下回った場合、その結果は統計的に有意であるといいます。
p値 < α の場合
H₀を棄却する。結果は統計的に有意です。
p値 ≥ α の場合
H₀を棄却しない。結果は偶然によるものかもしれません。
統計的有意性と実質的有意性
統計的に有意な結果が、必ずしも実用的に重要であるとは限りません。非常に大きな標本では、些細な差でも「有意」になることがあります。p値とともに、常に効果量も考慮してください。