Σ
SDCalc

Formule și metodologie

Aprofundare în matematica din spatele abaterii standard.

Derivare matematică

Abaterea standard măsoară dispersia punctelor de date față de media lor. Se obține calculând rădăcina pătrată a mediei pătratelor abaterilor de la medie.

σ = √[ Σ(xᵢ − μ)² / N ]  (population)
s = √[ Σ(xᵢ − x̄)² / (n − 1) ]  (sample)
  1. 1Calculați media (μ sau x̄) însumând toate valorile și împărțind la numărul lor.
  2. 2Scădeți media din fiecare punct de date pentru a găsi abaterea (xᵢ − μ).
  3. 3Ridicați la pătrat fiecare abatere pentru a elimina valorile negative (xᵢ − μ)².
  4. 4Însumați toate abaterile la pătrat: Σ(xᵢ − μ)².
  5. 5Împărțiți la N (populație) sau n−1 (eșantion) pentru a obține varianța.
  6. 6Extrageți rădăcina pătrată a varianței pentru a obține abaterea standard.

Corecția lui Bessel explicată

Când se estimează varianța populației dintr-un eșantion, împărțirea la n produce o estimare deplasată care subestimează sistematic varianța reală. Friedrich Bessel a arătat că împărțirea la (n − 1) în loc de n corectează această deplasare. Intuiția este că un eșantion de mărime n are doar (n − 1) grade de libertate deoarece media eșantionului este deja folosită în calcul, constrângând una dintre abateri.

s² = Σ(xᵢ − x̄)² / (n − 1)  ← unbiased
σ̂² = Σ(xᵢ − x̄)² / n  ← biased
  1. 1Cu n puncte de date, odată ce media este cunoscută, doar (n − 1) abateri sunt libere să varieze.
  2. 2Folosirea n la numitor tinde să subestimeze varianța populației.
  3. 3Folosirea (n − 1) oferă un estimator nedeplasat: E[s²] = σ².
  4. 4Pentru eșantioane mari (n > 30), diferența este neglijabilă.
  5. 5Pentru eșantioane mici, corecția poate îmbunătăți semnificativ estimarea.

Ghid vizual de calcul

Înțelegerea abaterii standard este mai ușoară cu o abordare vizuală pas cu pas. Luați în considerare setul de date {4, 8, 6, 5, 3, 7, 8, 1}. Media este 5,25. Fiecare punct de date deviază de la medie cu o cantitate diferită. Ridicând la pătrat aceste abateri, însumându-le, împărțind la (n − 1) = 7 și extrăgând rădăcina pătrată, obținem abaterea standard a eșantionului s ≈ 2,49.

Data: {4, 8, 6, 5, 3, 7, 8, 1}
Mean: (4+8+6+5+3+7+8+1)/8 = 42/8 = 5.25
Σ(xᵢ−x̄)² = 1.5625 + 7.5625 + 0.5625 + 0.0625 + 5.0625 + 3.0625 + 7.5625 + 18.0625 = 43.5
s = √(43.5 / 7) ≈ 2.49
  1. 1Enumerați toate valorile datelor și calculați media: x̄ = 5,25.
  2. 2Găsiți fiecare abatere: (4−5,25)=−1,25, (8−5,25)=2,75, (6−5,25)=0,75, ...
  3. 3Ridicați la pătrat fiecare abatere: 1,5625, 7,5625, 0,5625, 0,0625, 5,0625, 3,0625, 7,5625, 18,0625.
  4. 4Însumați abaterile la pătrat: 43,5.
  5. 5Împărțiți la (n−1) = 7: varianța s² = 43,5/7 ≈ 6,21.
  6. 6Extrageți rădăcina pătrată: s ≈ 2,49.

Citare academică

Când utilizați acest calculator în lucrări academice, îl puteți cita după cum urmează. Calculatorul implementează formulele standard atât pentru abaterea standard a populației, cât și a eșantionului, așa cum sunt definite în manualele introductive de statistică.

standarddeviationcalculator.app. (2025). Standard Deviation Calculator [Online tool]. https://standarddeviationcalculator.app
  1. 1APA: standarddeviationcalculator.app. (2025). Standard Deviation Calculator [Online tool]. Retrieved from https://standarddeviationcalculator.app
  2. 2MLA: "Standard Deviation Calculator." standarddeviationcalculator.app, 2025, standarddeviationcalculator.app.
  3. 3Chicago: standarddeviationcalculator.app. "Standard Deviation Calculator." Accessed 2025. https://standarddeviationcalculator.app.
  4. 4IEEE: standarddeviationcalculator.app, "Standard Deviation Calculator," 2025. [Online]. Available: https://standarddeviationcalculator.app