Gewogen standaardafwijking

Wat is gewogen standaardafwijking?

Wanneer gegevenspunten verschillende niveaus van belang hebben of verschillende frequenties vertegenwoordigen, gebruiken we de gewogen standaardafwijking. Dit komt veel voor bij portefeuilleanalyse, enquêtegegevens met steekproefgewichten en GPA-berekeningen.

Bij standaard (ongewogen) berekeningen draagt elk gegevenspunt gelijkmatig bij aan het gemiddelde en de standaardafwijking. Maar in praktijksituaties is het vaak nodig om sommige waarnemingen meer invloed te geven dan andere. Een investering van €1 miljoen moet de volatiliteitsberekening van uw portefeuille meer beïnvloeden dan een positie van €1.000. Een enquêterespons uit een grotere demografische groep moet meer gewicht krijgen bij het schatten van populatieparameters.

De formule voor gewogen SD

Eerst heeft u het gewogen gemiddelde nodig:

Vervolgens de gewogen standaardafwijking (populatieversie):

Waarbij wᵢ de gewichten zijn, xᵢ de gegevenswaarden en x̄w het gewogen gemiddelde.

Gebruik voor steekproefgegevens de bias-gecorrigeerde formule (analoog aan de correctie van Bessel):

De steekproefcorrectie is complexer omdat de “effectieve steekproefomvang” afhangt van de verdeling van de gewichten. Als alle gewichten gelijk zijn, reduceert dit tot de bekende n-1 correctie.

Stapsgewijze berekening

Praktische toepassingen

Portefeuillevolatiliteit: In de financiële wereld moet de standaardafwijking van een portefeuille rekening houden met verschillende activaallocaties. De volatiliteit van een portefeuille met 50% aandelen en 50% obligaties wordt berekend met gewogen SD, waarbij de gewichten de allocatiepercentages zijn.

Enquêteanalyse: Enquêtesteekproeven zijn vaak niet representatief voor bepaalde demografische groepen. Weging corrigeert hiervoor, zodat de resultaten de werkelijke populatie weerspiegelen. De gewogen SD vangt de variabiliteit in de populatie, niet alleen in de steekproef.

Academische beoordeling: Bij het berekenen van een GPA hebben verschillende vakken verschillende studiepunten. Een vak van 4 studiepunten moet uw GPA meer beïnvloeden dan een vak van 1 studiepunt. Gewogen berekeningen pakken dit vanzelf aan.

Meta-analyse: Bij het combineren van resultaten uit meerdere onderzoeken wordt elk onderzoek gewogen op basis van zijn precisie (vaak omgekeerde variantie). Dit geeft meer invloed aan grotere, preciezere onderzoeken.

Uitgewerkte voorbeelden

Portefeuillevoorbeeld: Beschouw een portefeuille met drie aandelen:

• Aandeel A: 15% rendement, 50% allocatie (gewicht = 0,50)
• Aandeel B: 8% rendement, 30% allocatie (gewicht = 0,30)
• Aandeel C: -2% rendement, 20% allocatie (gewicht = 0,20)

Gewogen gemiddelde = (0,50×15 + 0,30×8 + 0,20×(-2)) / 1,0 = 9,5%

Gewogen SD = √[(0,50×(15-9,5)² + 0,30×(8-9,5)² + 0,20×(-2-9,5)²)] = √[(0,50×30,25 + 0,30×2,25 + 0,20×132,25)] = √[15,125 + 0,675 + 26,45] = √42,25 = 6,5%