Σ
SDCalc

Formules & Methodologie

Diepgaande duik in de wiskunde achter standaardafwijking.

Wiskundige Afleiding

De standaardafwijking meet de spreiding van datapunten ten opzichte van hun gemiddelde. Het wordt afgeleid door de vierkantswortel te berekenen van de gemiddelde gekwadrateerde afwijking van het gemiddelde.

σ = √[ Σ(xᵢ − μ)² / N ]  (population)
s = √[ Σ(xᵢ − x̄)² / (n − 1) ]  (sample)
  1. 1Bereken het gemiddelde (μ of x̄) door alle waarden op te tellen en te delen door het aantal.
  2. 2Trek het gemiddelde af van elk datapunt om de afwijking te vinden (xᵢ − μ).
  3. 3Kwadrateer elke afwijking om negatieve waarden te elimineren (xᵢ − μ)².
  4. 4Tel alle gekwadrateerde afwijkingen op: Σ(xᵢ − μ)².
  5. 5Deel door N (populatie) of n−1 (steekproef) om de variantie te verkrijgen.
  6. 6Neem de vierkantswortel van de variantie om de standaardafwijking te verkrijgen.

Bessel-correctie Uitgelegd

Bij het schatten van de populatievariantie uit een steekproef levert delen door n een vertekende schatting op die de werkelijke variantie systematisch onderschat. Friedrich Bessel toonde aan dat delen door (n − 1) in plaats van n deze vertekening corrigeert. De intuïtie is dat een steekproef van grootte n slechts (n − 1) vrijheidsgraden heeft, omdat het steekproefgemiddelde al in de berekening wordt gebruikt en zo één van de afwijkingen beperkt.

s² = Σ(xᵢ − x̄)² / (n − 1)  ← unbiased
σ̂² = Σ(xᵢ − x̄)² / n  ← biased
  1. 1Met n datapunten zijn, zodra het gemiddelde bekend is, slechts (n − 1) afwijkingen vrij om te variëren.
  2. 2Het gebruik van n in de noemer neigt ertoe de populatievariantie te onderschatten.
  3. 3Het gebruik van (n − 1) levert een zuivere schatter: E[s²] = σ².
  4. 4Voor grote steekproeven (n > 30) is het verschil verwaarloosbaar.
  5. 5Voor kleine steekproeven kan de correctie de schatting aanzienlijk verbeteren.

Visuele Berekeningsgids

Het begrijpen van standaardafwijking is eenvoudiger met een stapsgewijze visuele aanpak. Neem de dataset {4, 8, 6, 5, 3, 7, 8, 1}. Het gemiddelde is 5,25. Elk datapunt wijkt in een andere mate af van het gemiddelde. Door deze afwijkingen te kwadrateren, op te tellen, te delen door (n − 1) = 7, en de vierkantswortel te nemen, krijgen we de steekproefstandaardafwijking s ≈ 2,49.

Data: {4, 8, 6, 5, 3, 7, 8, 1}
Mean: (4+8+6+5+3+7+8+1)/8 = 42/8 = 5.25
Σ(xᵢ−x̄)² = 1.5625 + 7.5625 + 0.5625 + 0.0625 + 5.0625 + 3.0625 + 7.5625 + 18.0625 = 43.5
s = √(43.5 / 7) ≈ 2.49
  1. 1Lijst alle datawaarden op en bereken het gemiddelde: x̄ = 5,25.
  2. 2Vind elke afwijking: (4−5,25)=−1,25, (8−5,25)=2,75, (6−5,25)=0,75, ...
  3. 3Kwadrateer elke afwijking: 1,5625, 7,5625, 0,5625, 0,0625, 5,0625, 3,0625, 7,5625, 18,0625.
  4. 4Tel de gekwadrateerde afwijkingen op: 43,5.
  5. 5Deel door (n−1) = 7: variantie s² = 43,5/7 ≈ 6,21.
  6. 6Neem de vierkantswortel: s ≈ 2,49.

Academische Citatie

Wanneer u deze calculator gebruikt in academisch werk, kunt u deze als volgt citeren. De calculator implementeert de standaardformules voor zowel populatie- als steekproefstandaardafwijking zoals gedefinieerd in inleidende statistiekhandboeken.

standarddeviationcalculator.app. (2025). Standard Deviation Calculator [Online tool]. https://standarddeviationcalculator.app
  1. 1APA: standarddeviationcalculator.app. (2025). Standard Deviation Calculator [Online tool]. Retrieved from https://standarddeviationcalculator.app
  2. 2MLA: "Standard Deviation Calculator." standarddeviationcalculator.app, 2025, standarddeviationcalculator.app.
  3. 3Chicago: standarddeviationcalculator.app. "Standard Deviation Calculator." Accessed 2025. https://standarddeviationcalculator.app.
  4. 4IEEE: standarddeviationcalculator.app, "Standard Deviation Calculator," 2025. [Online]. Available: https://standarddeviationcalculator.app