Gepoolde standaardafwijking voor meerdere groepen

Wat is gepoolde standaardafwijking?

Gepoolde standaardafwijking combineert variantieschattingen van twee of meer groepen tot een enkele, gewogen schatting. Het is essentieel voor tweeststeekproef-t-toetsen wanneer gelijke varianties worden aangenomen.

Het concept is eenvoudig: als we geloven dat twee groepen uit populaties komen met dezelfde onderliggende variabiliteit, kunnen we hun gegevens combineren voor een betere schatting van die gedeelde variabiliteit. Meer gegevens betekent een preciezere schatting.

Denk er zo over: als u 20 waarnemingen heeft van Groep A en 30 van Groep B, en beide groepen dezelfde werkelijke variantie hebben, dan heeft u nu 50 waarnemingen om die variantie te schatten in plaats van deze apart te schatten uit kleinere steekproeven.

Wanneer poolen

Pool standaardafwijkingen alleen wanneer u reden hebt om aan te nemen dat de onderliggende populatievarianties gelijk zijn. Gebruik de test van Levene of de F-toets om deze aanname te controleren voordat u poolt.

De formule voor gepoolde SD

Voor twee groepen is de gepoolde standaardafwijking:

Gepoolde SD voor twee groepen

sp = √[((n₁-1)s₁² + (n₂-1)s₂²) / (n₁+n₂-2)]

Waarbij n₁ en n₂ de steekproefomvangen zijn en s₁ en s₂ de steekproefstandaardafwijkingen.

Voor k groepen (zoals bij ANOVA) generaliseert de formule:

Gepoolde SD voor meerdere groepen

sp = √[Σ(nᵢ-1)sᵢ² / Σ(nᵢ-1)]

Merk op dat de formule (n-1)-termen gebruikt in zowel teller als noemer. Deze weging zorgt ervoor dat grotere steekproeven meer bijdragen aan de gepoolde schatting, wat passend is omdat grotere steekproeven betrouwbaardere variantieschattingen opleveren.

Onderliggende aannames

Gepoolde standaardafwijking veronderstelt homogeniteit van varianties—dat alle groepen dezelfde populatievariantie delen. Deze aanname is het belangrijkst wanneer:

Steekproefomvangen ongelijk zijn (vooral problematisch als de grotere groep een kleinere variantie heeft)
De verhouding van de grootste tot de kleinste variantie groter is dan 2-3
Steekproefomvangen klein zijn (grote steekproeven zijn robuuster tegen schendingen)

Wanneer varianties verschillen

Als varianties ongelijk zijn, gebruik dan de t-toets van Welch in plaats van de gepoolde t-toets, of gebruik afzonderlijke variantieschattingen. De toets van Welch veronderstelt geen gelijke varianties en wordt vaak aanbevolen als standaardbenadering.

Uitgewerkt voorbeeld

Scenario: Toetsscores vergelijken tussen twee klassen:

Klas A: n₁ = 25, gemiddelde = 78, s₁ = 12
Klas B: n₂ = 30, gemiddelde = 82, s₂ = 14

Berekening gepoolde SD:

sp = √[((25-1)(12)² + (30-1)(14)²) / (25+30-2)] sp = √[(24×144 + 29×196) / 53] sp = √[(3456 + 5684) / 53] sp = √[9140 / 53] = √172,45 = 13,13

De gepoolde SD van 13,13 valt tussen de individuele SD's (12 en 14), gewogen naar de grotere steekproef. Deze gepoolde waarde wordt vervolgens gebruikt in de t-toetsformule of Cohen's d-berekening.

Statistische toepassingen

Onafhankelijke steekproeven t-toets: De gepoolde SD wordt gebruikt om de standaardfout van het verschil tussen gemiddelden te berekenen.
Cohens d-effectgrootte: Effectgroottes worden gestandaardiseerd met de gepoolde SD: d = (M₁ - M₂) / sp
ANOVA: De gemiddelde kwadratische fout (MSE) in ANOVA is in wezen een gepoolde variantieschatting over alle groepen.
Meta-analyse: Bij het combineren van onderzoeken helpen gepoolde schattingen om effecten over verschillende contexten te standaardiseren.

← Leercentrum