Deviazione standard ponderata

Che cos’è la deviazione standard ponderata?

Quando i dati hanno diversi livelli di importanza o rappresentano frequenze differenti, si utilizza la deviazione standard ponderata. Questo è comune nell’analisi di portafoglio, nei dati di sondaggi con pesi di campionamento e nel calcolo della media ponderata dei voti.

Nei calcoli standard (non ponderati), ogni dato contribuisce in misura uguale alla media e alla deviazione standard. Ma gli scenari reali spesso richiedono di dare a certe osservazioni un’influenza maggiore rispetto ad altre. Un investimento da 1 milione di euro dovrebbe influenzare il calcolo della volatilità del portafoglio più di una posizione da 1.000 euro. La risposta di un sondaggio proveniente da un gruppo demografico più ampio dovrebbe avere un peso maggiore nella stima dei parametri della popolazione.

La formula della DS ponderata

Innanzitutto, occorre la media ponderata:

Poi, la deviazione standard ponderata (versione per la popolazione):

Dove wᵢ sono i pesi, xᵢ sono i valori dei dati e x̄w è la media ponderata.

Per dati campionari, si usa la formula corretta per la distorsione (analoga alla correzione di Bessel):

La correzione campionaria è più complessa perché la “dimensione campionaria effettiva” dipende dalla distribuzione dei pesi. Se tutti i pesi sono uguali, si riduce alla familiare correzione n-1.

Calcolo passo dopo passo

Applicazioni nel mondo reale

Volatilità del portafoglio: In finanza, la deviazione standard del portafoglio deve tenere conto delle diverse allocazioni degli attivi. La volatilità di un portafoglio 50% azioni e 50% obbligazioni si calcola con la DS ponderata, dove i pesi sono le percentuali di allocazione.

Analisi dei sondaggi: I campioni dei sondaggi spesso sovra o sottorappresentano certi gruppi demografici. La ponderazione corregge questo aspetto, garantendo che i risultati riflettano la vera popolazione. La DS ponderata cattura la variabilità nella popolazione, non solo nel campione.

Valutazione accademica: Nel calcolo della media ponderata dei voti, diversi corsi hanno un numero diverso di crediti. Un corso da 12 crediti dovrebbe influenzare la media più di un corso da 3 crediti. I calcoli ponderati gestiscono questo aspetto in modo naturale.

Meta-analisi: Quando si combinano i risultati di più studi, ogni studio è ponderato in base alla sua precisione (spesso il reciproco della varianza). Questo dà più influenza agli studi più grandi e precisi.

Esempi svolti

Esempio di portafoglio: Consideriamo un portafoglio con tre azioni:

• Azione A: rendimento 15%, allocazione 50% (peso = 0,50)
• Azione B: rendimento 8%, allocazione 30% (peso = 0,30)
• Azione C: rendimento -2%, allocazione 20% (peso = 0,20)

Media ponderata = (0,50×15 + 0,30×8 + 0,20×(-2)) / 1,0 = 9,5%

DS ponderata = √[(0,50×(15-9,5)² + 0,30×(8-9,5)² + 0,20×(-2-9,5)²)] = √[(0,50×30,25 + 0,30×2,25 + 0,20×132,25)] = √[15,125 + 0,675 + 26,45] = √42,25 = 6,5%