Σ
SDCalc

Formule e metodologia

Approfondimento sulla matematica della deviazione standard.

Derivazione matematica

La deviazione standard misura la dispersione dei punti dati dalla loro media. Si ottiene calcolando la radice quadrata della media degli scarti al quadrato dalla media.

σ = √[ Σ(xᵢ − μ)² / N ]  (population)
s = √[ Σ(xᵢ − x̄)² / (n − 1) ]  (sample)
  1. 1Calcolare la media (μ o x̄) sommando tutti i valori e dividendo per il conteggio.
  2. 2Sottrarre la media da ogni punto dati per trovare lo scarto (xᵢ − μ).
  3. 3Elevare al quadrato ogni scarto per eliminare i valori negativi (xᵢ − μ)².
  4. 4Sommare tutti gli scarti al quadrato: Σ(xᵢ − μ)².
  5. 5Dividere per N (popolazione) o n−1 (campione) per ottenere la varianza.
  6. 6Estrarre la radice quadrata della varianza per ottenere la deviazione standard.

Spiegazione della correzione di Bessel

Quando si stima la varianza della popolazione da un campione, dividere per n produce una stima distorta che sottostima sistematicamente la vera varianza. Friedrich Bessel dimostrò che dividere per (n − 1) invece di n corregge questa distorsione. L'intuizione è che un campione di dimensione n ha solo (n − 1) gradi di libertà perché la media campionaria è già utilizzata nel calcolo, vincolando uno degli scarti.

s² = Σ(xᵢ − x̄)² / (n − 1)  ← non distorta
σ̂² = Σ(xᵢ − x̄)² / n  ← distorta
  1. 1Con n punti dati, una volta nota la media, solo (n − 1) scarti sono liberi di variare.
  2. 2Usare n al denominatore tende a sottostimare la varianza della popolazione.
  3. 3Usare (n − 1) fornisce uno stimatore non distorto: E[s²] = σ².
  4. 4Per grandi campioni (n > 30), la differenza è trascurabile.
  5. 5Per piccoli campioni, la correzione può migliorare significativamente la stima.

Guida al calcolo visivo

Comprendere la deviazione standard è più facile con un approccio visivo passo dopo passo. Consideriamo l'insieme di dati {4, 8, 6, 5, 3, 7, 8, 1}. La media è 5,25. Ogni punto dati devia dalla media di un importo diverso. Elevando al quadrato queste deviazioni, sommandole, dividendo per (n − 1) = 7 e estraendo la radice quadrata, si ottiene la deviazione standard campionaria s ≈ 2,49.

Data: {4, 8, 6, 5, 3, 7, 8, 1}
Mean: (4+8+6+5+3+7+8+1)/8 = 42/8 = 5.25
Σ(xᵢ−x̄)² = 1.5625 + 7.5625 + 0.5625 + 0.0625 + 5.0625 + 3.0625 + 7.5625 + 18.0625 = 43.5
s = √(43.5 / 7) ≈ 2.49
  1. 1Elencare tutti i valori dei dati e calcolare la loro media: x̄ = 5,25.
  2. 2Trovare ogni scarto: (4−5,25)=−1,25, (8−5,25)=2,75, (6−5,25)=0,75, ...
  3. 3Elevare al quadrato ogni scarto: 1,5625, 7,5625, 0,5625, 0,0625, 5,0625, 3,0625, 7,5625, 18,0625.
  4. 4Sommare gli scarti al quadrato: 43,5.
  5. 5Dividere per (n−1) = 7: varianza s² = 43,5/7 ≈ 6,21.
  6. 6Estrarre la radice quadrata: s ≈ 2,49.

Citazione accademica

Quando si utilizza questo calcolatore in un lavoro accademico, è possibile citarlo come segue. Il calcolatore implementa le formule standard per la deviazione standard della popolazione e del campione come definite nei libri di testo di statistica introduttiva.

standarddeviationcalculator.app. (2025). Standard Deviation Calculator [Online tool]. https://standarddeviationcalculator.app
  1. 1APA: standarddeviationcalculator.app. (2025). Standard Deviation Calculator [Online tool]. Retrieved from https://standarddeviationcalculator.app
  2. 2MLA: "Standard Deviation Calculator." standarddeviationcalculator.app, 2025, standarddeviationcalculator.app.
  3. 3Chicago: standarddeviationcalculator.app. "Standard Deviation Calculator." Accessed 2025. https://standarddeviationcalculator.app.
  4. 4IEEE: standarddeviationcalculator.app, "Standard Deviation Calculator," 2025. [Online]. Available: https://standarddeviationcalculator.app