Formula della Deviazione Standard Spiegata: Guida Passo-Passo

Cos'è la Formula della Deviazione Standard?

La formula della deviazione standard è l'equazione matematica utilizzata per quantificare l'entità della variazione o dispersione in un insieme di valori. Una deviazione standard bassa indica che i dati tendono a essere vicini alla media (μ o x̄), mentre una deviazione standard alta indica che i valori sono distribuiti su un intervallo più ampio.

In statistica, la formula da utilizzare dipende dal fatto che si stia lavorando con un'intera popolazione o con un campione estratto da essa. Il concetto di base prevede il calcolo della media degli scarti quadratici rispetto alla media, nota come varianza (σ²), per poi estrarre la radice quadrata e riportare la misurazione alle unità di misura originali.

Deviazione Standard della Popolazione

σ = √[ Σ (xi - μ)² / N ]

σ (sigma): Deviazione standard della popolazione
Σ (sigma): Sommatoria
xi: Ogni singolo valore nel set di dati
μ (mu): Media della popolazione
N: Numero totale di osservazioni nella popolazione

Deviazione Standard della Popolazione vs. Campione

Nell'analisi dei dati reale, è raro disporre dei dati di un'intera popolazione. Nella maggior parte dei casi, raccogliamo un campione per trarre inferenze sulla popolazione più ampia. Poiché un campione fornisce solo una stima della media della popolazione, calcolare la deviazione standard utilizzando la formula della popolazione su un campione sottostima sistematicamente la variabilità reale. Per correggere questo bias, si utilizza la formula della deviazione standard del campione.

Deviazione Standard del Campione

s = √[ Σ (xi - x̄)² / (n - 1) ]

Non confondere le formule!

Usare 'N' per un campione o 'n-1' per una popolazione porterà a una misurazione errata della dispersione. La formula del campione con n-1 è nota come correzione di Bessel ed è strettamente necessaria per ottenere una stima non distorta della varianza della popolazione.

Calcolo Passo-Passo della Formula

Calcolare la deviazione standard a mano richiede un approccio sistematico. Seguendo questi passaggi, è possibile calcolare con precisione la deviazione standard della popolazione o del campione per qualsiasi insieme di dati.

Calcola la Media

Somma tutti i valori (Σxi) e dividili per il numero totale di osservazioni (N o n) per trovare la media (μ o x̄).

Trova gli Scarti

Sottrai la media da ogni singolo valore per trovare lo scarto: (xi - media).

Eleva gli Scarti al Quadrato

Eleva al quadrato ciascuno degli scarti calcolati nel passaggio precedente: (xi - media)². Questo garantisce che tutti i valori siano positivi.

Somma gli Scarti Quadratici

Somma tutti gli scarti quadratici per trovare la somma dei quadrati: Σ(xi - media)².

Dividi per N o n-1

Per una popolazione, dividi per N. Per un campione, dividi per (n - 1). In questo modo ottieni la varianza (σ² o s²).

Estrai la Radice Quadrata

Calcola la radice quadrata della varianza per trovare la deviazione standard (σ o s).

Perché la Formula del Campione Divide per n-1?

Dividere per n-1 invece di n è un concetto noto come correzione di Bessel. Poiché la media campionaria (x̄) è calcolata dai dati del campione stesso, gli scarti (xi - x̄) sono matematicamente vincolati a sommare a zero. Ciò significa che i dati sono leggermente più vicini alla media campionaria di quanto non lo siano alla vera media della popolazione (μ).

Dividendo per n-1 (i gradi di libertà), si gonfia la varianza quanto basta per compensare questa sottostima, fornendo uno stimatore non distorto della varianza della popolazione.

Sources

References and further authoritative reading used in preparing this article.

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