Desviación estándar ponderada

¿Qué es la desviación estándar ponderada?

Cuando los datos tienen diferentes niveles de importancia o representan diferentes frecuencias, se utiliza la desviación estándar ponderada. Esto es habitual en el análisis de carteras, datos de encuestas con pesos de muestreo y cálculos de promedio ponderado de calificaciones.

En los cálculos estándar (sin ponderar), cada dato contribuye por igual a la media y la desviación estándar. Sin embargo, los escenarios del mundo real con frecuencia requieren dar mayor influencia a algunas observaciones que a otras. Una inversión de 1 millón de dólares debería afectar más al cálculo de volatilidad de la cartera que una posición de 1,000 dólares. Una respuesta de encuesta de un grupo demográfico más grande debería tener mayor peso al estimar los parámetros poblacionales.

La fórmula de la DE ponderada

Primero, se necesita la media ponderada:

Luego, la desviación estándar ponderada (versión poblacional):

Donde wᵢ son los pesos, xᵢ son los valores de los datos y x̄w es la media ponderada.

Para datos muestrales, se utiliza la fórmula con corrección de sesgo (análoga a la corrección de Bessel):

La corrección muestral es más compleja porque el "tamaño efectivo de muestra" depende de la distribución de los pesos. Si todos los pesos son iguales, esto se reduce a la familiar corrección n-1.

Cálculo paso a paso

Aplicaciones en el mundo real

Volatilidad de cartera: En finanzas, la desviación estándar de una cartera debe considerar las diferentes asignaciones de activos. La volatilidad de una cartera con 50% en acciones y 50% en bonos se calcula utilizando la DE ponderada, donde los pesos son los porcentajes de asignación.

Análisis de encuestas: Las muestras de encuestas frecuentemente sobrerrepresentan o subrepresentan ciertos grupos demográficos. La ponderación ajusta esto, asegurando que los resultados reflejen la verdadera población. La DE ponderada captura la variabilidad en la población, no solo en la muestra.

Calificaciones académicas: Al calcular el promedio ponderado, diferentes asignaturas tienen diferentes créditos. Una asignatura de 4 créditos debería influir más en el promedio que una de 1 crédito. Los cálculos ponderados manejan esto de forma natural.

Metaanálisis: Al combinar resultados de múltiples estudios, cada estudio se pondera por su precisión (frecuentemente la varianza inversa). Esto otorga mayor influencia a los estudios más grandes y precisos.

Ejemplos resueltos

Ejemplo de cartera: Considere una cartera con tres acciones:

• Acción A: rendimiento del 15%, asignación del 50% (peso = 0.50)
• Acción B: rendimiento del 8%, asignación del 30% (peso = 0.30)
• Acción C: rendimiento del -2%, asignación del 20% (peso = 0.20)

Media ponderada = (0.50×15 + 0.30×8 + 0.20×(-2)) / 1.0 = 9.5%

DE ponderada = √[(0.50×(15-9.5)² + 0.30×(8-9.5)² + 0.20×(-2-9.5)²)] = √[(0.50×30.25 + 0.30×2.25 + 0.20×132.25)] = √[15.125 + 0.675 + 26.45] = √42.25 = 6.5%