Co je vážená směrodatná odchylka?
Pokud mají datové body různou míru důležitosti nebo představují různé frekvence, používáme váženou směrodatnou odchylku. Běžně se setkáváme s ní v analýze portfolia, u průzkumových dat s váhami výběru a při výpočtech průměrného prospěchu.
Při standardním (neváženém) výpočtu přispívá každý datový bod k průměru a směrodatné odchylce stejnou měrou. Reálné situace ale často vyžadují přisouzení větší důležitosti některým pozorováním. Investice v hodnotě 1 milionu korun by měla ovlivnit výpočet volatility portfolia více než pozice za tisíc korun. Odpověď respondenta z větší demografické skupiny by při odhadu populačních parametrů měla mít větší váhu.
Kdy použít váženou SO
Vzorec vážené SO
Nejprve potřebujete vážený průměr:
Weighted Mean
Poté váženou směrodatnou odchylku (populační verze):
Weighted Standard Deviation (Population)
Kde wᵢ jsou váhy, xᵢ jsou datové hodnoty a x̄w je vážený průměr.
Pro výběrová data použijte vzorec s korekcí vychýlení (analogický Besselově korekci):
Weighted Standard Deviation (Sample)
Výběrová korekce je složitější, protože „efektivní velikost výběru“ závisí na rozložení vah. Pokud jsou všechny váhy stejné, vzorec se zredukuje na známou korekci n-1.
Výpočet krok za krokem
Vypočítejte vážený průměr
Vypočítejte vážené kvadratické odchylky
Sečtěte vážené kvadratické odchylky
Vydělte součtem vah
Odmocněte
Aplikace v praxi
Volatilita portfolia: Ve financích musí směrodatná odchylka portfolia zohledňovat různé alokace aktiv. Volatilita portfolia s 50 % akcií a 50 % dluhopisů se počítá pomocí vážené SO, kde váhy odpovídají procentuálním alokacím.
Analýza průzkumů: Výběrové soubory průzkumů často nadměrně nebo nedostatečně reprezentují určité demografické skupiny. Vážení toto upravuje a zajišťuje, že výsledky odrážejí skutečnou populaci. Vážená SO zachycuje variabilitu v populaci, nejen ve výběru.
Akademické hodnocení: Při výpočtu průměrného prospěchu mají různé předměty různý počet kreditů. Předmět se 4 kredity by měl ovlivnit váš průměr více než předmět s 1 kreditem. Vážené výpočty toto přirozeně řeší.
Metaanalýza: Při kombinování výsledků z více studií je každá studie vážena podle své přesnosti (často inverzním rozptylem). To přisuzuje větší vliv větším, přesnějším studiím.
Řešené příklady
Příklad portfolia: Uvažujme portfolio se třemi akciemi:
- Akcie A: 15% výnos, 50% alokace (váha = 0,50)
- Akcie B: 8% výnos, 30% alokace (váha = 0,30)
- Akcie C: -2% výnos, 20% alokace (váha = 0,20)
Vážený průměr = (0,50×15 + 0,30×8 + 0,20×(-2)) / 1,0 = 9,5 %
Vážená SO = √[(0,50×(15-9,5)² + 0,30×(8-9,5)² + 0,20×(-2-9,5)²)] = √[(0,50×30,25 + 0,30×2,25 + 0,20×132,25)] = √[15,125 + 0,675 + 26,45] = √42,25 = 6,5 %
Všimněte si dopadu