Vzorec pro směrodatnou odchylku: Podrobný návod krok za krokem

Co je vzorec pro směrodatnou odchylku?

Vzorec pro směrodatnou odchylku je matematický výraz používaný k vyjádření míry variability nebo rozptýlení v souboru dat. Nízká směrodatná odchylka znamená, že datové body jsou obvykle blízko k průměru (μ nebo x̄), zatímco vysoká směrodatná odchylka ukazuje, že hodnoty jsou rozptýleny v širším rozsahu.

Ve statistice závisí volba vzorce na tom, zda pracujete s celým základním souborem, nebo pouze s výběrem z tohoto souboru. Základním principem je výpočet průměru druhých mocnin odchylek od průměru, což označujeme jako rozptyl (σ²), a následná odmocnina, která vrací měření zpět do původních jednotek.

Směrodatná odchylka základního souboru

σ = √[ Σ (xi - μ)² / N ]

σ (sigma): Směrodatná odchylka základního souboru
Σ (sigma): Suma...
xi: Každá jednotlivá hodnota v datovém souboru
μ (mí): Aritmetický průměr základního souboru
N: Celkový počet datových bodů v základním souboru

Směrodatná odchylka základního a výběrového souboru

Při analýze reálných dat je vzácné mít k dispozici údaje za celý základní soubor. Ve většině případů sbíráme výběr, abychom na jeho základě udělali závěry o celé populaci. Protože výběr pouze odhaduje průměr základního souboru, výpočet směrodatné odchylky pomocí vzorce pro základní soubor vede k systematickému podhodnocení skutečné variability. K nápravě tohoto zkreslení používáme vzorec pro směrodatnou odchylku výběrového souboru.

Směrodatná odchylka výběrového souboru

s = √[ Σ (xi - x̄)² / (n - 1) ]

Nemíchejte vzorce dohromady!

Použití 'N' pro výběr nebo 'n-1' pro základní soubor povede k nesprávnému měření rozptýlení. Vzorec pro výběr s n-1 se nazývá Besselova korekce a je nezbytný pro nestranný odhad rozptylu základního souboru.

Výpočet vzorce krok za krokem

Ruční výpočet směrodatné odchylky vyžaduje systematický přístup. Dodržením následujících kroků můžete přesně vypočítat směrodatnou odchylku základního i výběrového souboru pro jakoukoliv sadu dat.

Vypočítejte průměr

Sečtěte všechny datové body (Σxi) a vydělte jejich celkovým počtem (N nebo n), abyste získali průměr (μ nebo x̄).

Zjistěte odchylky

Odečtěte průměr od každého jednotlivého datového bodu, abyste zjistili odchylku: (xi - průměr).

Umocněte odchylky na druhou

Umocněte na druhou každou odchylku vypočítanou v předchozím kroku: (xi - průměr)². Tím zajistíte, že všechny hodnoty budou kladné.

Sečtěte druhé mocniny odchylek

Sečtěte všechny druhé mocniny odchylek, abyste získali součet čtverců: Σ(xi - průměr)².

Vydělte hodnotou N nebo n-1

Pro základní soubor vydělte hodnotou N. Pro výběrový soubor vydělte hodnotou (n - 1). Tím získáte rozptyl (σ² nebo s²).

Odmocněte

Vezměte druhou odmocninu z rozptylu a získáte směrodatnou odchylku (σ nebo s).

Proč se ve vzorci pro výběr dělí n-1?

Dělení hodnotou n-1 místo n je koncept známý jako Besselova korekce. Protože výběrový průměr (x̄) je vypočítán ze samotných dat výběru, odchylky (xi - x̄) jsou matematicky vázány tak, aby jejich součet byl nula. To znamená, že datové body jsou o něco blíže k výběrovému průměru než k skutečnému průměru základního souboru (μ).

Vydělením hodnotou n-1 (tzv. stupně volnosti) variance mírně navýšíme, čímž kompenzujeme toto podhodnocení, a získáme tak nestranný odhad rozptylu základního souboru.

Sources

References and further authoritative reading used in preparing this article.

← Centrum výuky