Mi a súlyozott szórás?
Ha az adatpontok különböző fontossággal bírnak vagy különböző gyakoriságokat képviselnek, súlyozott szórást használunk. Ez gyakori a portfólióelemzésben, a mintavételi súlyokkal rendelkező felmérési adatoknál és a tanulmányi átlagszámításnál.
A hagyományos (súlyozatlan) számításokban minden adatpont egyformán járul hozzá az átlaghoz és a szóráshoz. A valós helyzetek azonban gyakran megkövetelik, hogy egyes megfigyelések nagyobb befolyással bírjanak, mint mások. Egy 1 millió forintos befektetésnek jobban kell befolyásolnia a portfólió volatilitásának számítását, mint egy 1 000 forintos pozíciónak. Egy nagyobb demográfiai csoportot képviselő felmérési válasznak nagyobb súlyt kell kapnia a populációs paraméterek becslésekor.
Mikor használj súlyozott szórást?
A súlyozott szórás képlete
Először a súlyozott átlagra van szükséged:
Weighted Mean
Ezután a súlyozott szórás (populációs verzió):
Weighted Standard Deviation (Population)
Ahol wᵢ a súlyok, xᵢ az adatértékek, és x̄w a súlyozott átlag.
Mintaadatok esetén használd a torzítás-korrigált képletet (a Bessel-korrekcióhoz hasonlóan):
Weighted Standard Deviation (Sample)
A mintakorrekció összetettebb, mert az „effektív mintaméret” a súlyok eloszlásától függ. Ha minden súly egyenlő, a képlet visszavezethető az ismerős n-1 korrekcióra.
Lépésenkénti számítás
Súlyozott átlag kiszámítása
Súlyozott négyzetes eltérések kiszámítása
Súlyozott négyzetes eltérések összegzése
Osztás a súlyok összegével
Négyzetgyök vonás
Valós alkalmazások
Portfólió-volatilitás: A pénzügyben a portfólió szórásának figyelembe kell vennie a különböző eszközallokációkat. Egy 50% részvény, 50% kötvény portfólió volatilitását súlyozott szórással számítják, ahol a súlyok az allokációs százalékok.
Felmérés-elemzés: A felmérési minták gyakran felül- vagy alulreprezentálnak bizonyos demográfiai csoportokat. A súlyozás korrigálja ezt, biztosítva, hogy az eredmények a valódi populációt tükrözzék. A súlyozott szórás a populáció változékonyságát ragadja meg, nem csak a mintáét.
Tanulmányi eredmények: A tanulmányi átlag számításakor a különböző kurzusoknak különböző kreditértéke van. Egy 4 kredites kurzusnak jobban kell befolyásolnia az átlagodat, mint egy 1 kreditesnek. A súlyozott számítások természetesen kezelik ezt.
Metaanalízis: Több vizsgálat eredményeinek kombinálásánál minden vizsgálatot a precizitásával súlyoznak (gyakran inverz variancia). Ez nagyobb befolyást biztosít a nagyobb, pontosabb vizsgálatoknak.
Kidolgozott példák
Portfólió példa: Tekintsünk egy háromrészvényes portfóliót:
- A részvény: 15%-os hozam, 50%-os allokáció (súly = 0,50)
- B részvény: 8%-os hozam, 30%-os allokáció (súly = 0,30)
- C részvény: -2%-os hozam, 20%-os allokáció (súly = 0,20)
Súlyozott átlag = (0,50×15 + 0,30×8 + 0,20×(-2)) / 1,0 = 9,5%
Súlyozott szórás = √[(0,50×(15-9,5)² + 0,30×(8-9,5)² + 0,20×(-2-9,5)²)] = √[(0,50×30,25 + 0,30×2,25 + 0,20×132,25)] = √[15,125 + 0,675 + 26,45] = √42,25 = 6,5%
Figyeld meg a hatást