Σ
SDCalc

Képletek és módszertan

Mélymerülés a szórás mögötti matematikába.

Matematikai levezetés

A szórás az adatpontoknak az átlaguktól való szóródását méri. Az átlagtól vett átlagos négyzetes eltérés négyzetgyökének kiszámításával kapjuk meg.

σ = √[ Σ(xᵢ − μ)² / N ]  (population)
s = √[ Σ(xᵢ − x̄)² / (n − 1) ]  (sample)
  1. 1Számítsa ki az átlagot (μ vagy x̄) az összes érték összegzésével és a darabszámmal való osztással.
  2. 2Vonja ki az átlagot minden adatpontból az eltérés megállapításához (xᵢ − μ).
  3. 3Emelje négyzetre minden eltérést a negatív értékek kiküszöböléséhez (xᵢ − μ)².
  4. 4Összegezze az összes négyzetes eltérést: Σ(xᵢ − μ)².
  5. 5Ossza el N-nel (populáció) vagy n−1-gyel (minta) a variancia kiszámításához.
  6. 6Vonjon négyzetgyököt a varianciából a szórás kiszámításához.

A Bessel-korrekció magyarázata

A populációs variancia mintából történő becslése során az n-nel való osztás torzított becslést eredményez, amely szisztematikusan alulbecsli a valódi varianciát. Friedrich Bessel megmutatta, hogy n helyett (n − 1)-gyel való osztás korrigálja ezt a torzítást. Az intuíció az, hogy egy n méretű minta csak (n − 1) szabadsági fokkal rendelkezik, mivel a mintaátlagot már felhasználtuk a számítás során, ami az eltérések egyikét korlátozza.

s² = Σ(xᵢ − x̄)² / (n − 1)  ← torzítatlan
σ̂² = Σ(xᵢ − x̄)² / n  ← torzított
  1. 1n adatpont esetén, ha az átlag ismert, csak (n − 1) eltérés változhat szabadon.
  2. 2Az n használata a nevezőben hajlamos alulbecsülni a populációs varianciát.
  3. 3Az (n − 1) használata torzítatlan becslőt ad: E[s²] = σ².
  4. 4Nagy minták esetén (n > 30) a különbség elhanyagolható.
  5. 5Kis minták esetén a korrekció jelentősen javíthatja a becslést.

Vizuális számítási útmutató

A szórás megértése könnyebb lépésről lépésre haladó vizuális megközelítéssel. Tekintsük a {4, 8, 6, 5, 3, 7, 8, 1} adathalmazt. Az átlag 5,25. Minden adatpont különböző mértékben tér el az átlagtól. Ezen eltérések négyzetre emelése, összegzése, (n − 1) = 7-tel való osztása és négyzetgyökvonás után a mintaszórás s ≈ 2,49.

Data: {4, 8, 6, 5, 3, 7, 8, 1}
Mean: (4+8+6+5+3+7+8+1)/8 = 42/8 = 5.25
Σ(xᵢ−x̄)² = 1.5625 + 7.5625 + 0.5625 + 0.0625 + 5.0625 + 3.0625 + 7.5625 + 18.0625 = 43.5
s = √(43.5 / 7) ≈ 2.49
  1. 1Sorolja fel az összes adatértéket és számítsa ki az átlagukat: x̄ = 5,25.
  2. 2Határozza meg minden eltérést: (4−5,25)=−1,25, (8−5,25)=2,75, (6−5,25)=0,75, ...
  3. 3Emelje négyzetre minden eltérést: 1,5625, 7,5625, 0,5625, 0,0625, 5,0625, 3,0625, 7,5625, 18,0625.
  4. 4Összegezze a négyzetes eltéréseket: 43,5.
  5. 5Ossza el (n−1) = 7-tel: variancia s² = 43,5/7 ≈ 6,21.
  6. 6Vonjon négyzetgyököt: s ≈ 2,49.

Akadémiai hivatkozás

Ha ezt a kalkulátort tudományos munkában használja, az alábbiak szerint hivatkozhat rá. A kalkulátor a populációs és mintaszórás standard képleteit alkalmazza, ahogy azok a bevezető statisztika tankönyvekben definiálva vannak.

standarddeviationcalculator.app. (2025). Standard Deviation Calculator [Online tool]. https://standarddeviationcalculator.app
  1. 1APA: standarddeviationcalculator.app. (2025). Standard Deviation Calculator [Online tool]. Retrieved from https://standarddeviationcalculator.app
  2. 2MLA: "Standard Deviation Calculator." standarddeviationcalculator.app, 2025, standarddeviationcalculator.app.
  3. 3Chicago: standarddeviationcalculator.app. "Standard Deviation Calculator." Accessed 2025. https://standarddeviationcalculator.app.
  4. 4IEEE: standarddeviationcalculator.app, "Standard Deviation Calculator," 2025. [Online]. Available: https://standarddeviationcalculator.app