Szórás képlete lépésről lépésre: Teljes útmutató

Mi a szórás képlete?

A szórás képlete az a matematikai egyenlet, amely az adatértékek halmazában lévő változékonyság vagy szóródás mértékét fejezi ki. Az alacsony szórás azt jelzi, hogy az adatpontok általában közel helyezkednek el az átlaghoz (μ vagy x̄), míg a magas szórás arra utal, hogy az adatpontok egy sokkal szélesebb értéktartományban helyezkednek el.

A statisztikában az alkalmazott képlet attól függ, hogy egy teljes sokasággal vagy egy abból vett mintával dolgozunk-e. A alapvető koncepció az átlagtól vett négyzetes eltérések átlagának kiszámítása, amit varianciának (σ²) nevezünk, majd a négyzetgyök vonása, amivel az eredményt visszaalakítjuk az eredeti mértékegységbe.

Sokasági szórás

σ = √[ Σ (xi - μ)² / N ]

σ (szigma): Sokasági szórás
Σ (szigma): Összege...
xi: Az adathalmaz egyes értékei
μ (mü): Sokasági átlag
N: A sokaság adatpontjainak teljes száma

Sokasági és mintabeli szórás

A valós adatelemzésben ritkán áll rendelkezésre a teljes sokaság adata. A legtöbb esetben egy mintát gyűjtünk, hogy következtetéseket vonjunk le a nagyobb sokaságra vonatkozóan. Mivel a minta csak becslést ad a sokasági átlagra, ha a sokasági képlettel számoljuk a szórást egy mintán, akkor szisztematikusan alábecsüljük a valódi változékonyságot. Ennek a torzításnak a kiküszöbölésére a mintabeli szórás képletét használjuk.

Mintabeli szórás

s = √[ Σ (xi - x̄)² / (n - 1) ]

Ne keverd a képleteket!

Ha 'N'-et használsz mintára, vagy 'n-1'-et sokaságra, hibás szóródásmértéket kapsz. Az n-1-gyel számoló mintabeli képlet a Bessel-féle korrekció, amely elengedhetetlen a sokasági variancia torzítatlan becsléséhez.

A képlet lépésről lépésre történő kiszámítása

A szórás kézi kiszámítása rendszerszerű megközelítést igényel. Az alábbi lépések követésével bármely adathalmazra pontosan kiszámítható a sokasági vagy a mintabeli szórás.

Átlag kiszámítása

Összegezd az összes adatpontot (Σxi), és oszd el a pontok teljes számával (N vagy n), hogy megkapd az átlagot (μ vagy x̄).

Eltérések meghatározása

Vondd ki az átlagot minden egyes adatpontból az eltérés meghatározásához: (xi - átlag).

Eltérések négyzetre emelése

Emeld négyzetre az előző lépésben kiszámított eltéréseket: (xi - átlag)². Ez biztosítja, hogy minden érték pozitív legyen.

Négyzetes eltérések összegezése

Összegezd az összes négyzetes eltérést, hogy megkapd a négyzetösszeget: Σ(xi - átlag)².

Osztás N-nel vagy n-1-gyel

Sokaság esetén oszd el N-nel. Minta esetén oszd el (n - 1)-gyel. Ez adja meg a varianciát (σ² vagy s²).

Négyzetgyök vonása

Vonj négyzetgyököt a varianciából a szórás (σ vagy s) megkapásához.

Miért osztunk n-1-gyel a mintabeli képletben?

Az n-1-gyel való osztás az n helyett a Bessel-féle korrekció néven ismert fogalom. Mivel a mintaátlag (x̄) magából a minta adataiból kerül kiszámításra, az (xi - x̄) eltérések matematikai okok miatt nulla összegűek. Ez azt jelenti, hogy az adatpontok egy kicsit közelebb vannak a mintaátlaghoz, mint a valódi sokasági átlaghoz (μ).

Az n-1-gyel (a szabadságfokkal) való osztással éppen annyira növeljük meg a varianciát, amennyivel kompenzálni tudjuk ezt az alábecslést, így a sokasági variancia torzítatlan becslését kapjuk.

Sources

References and further authoritative reading used in preparing this article.

← Tanulóközpont