¿Qué es el desvío estándar combinado?
El desvío estándar combinado (pooled standard deviation) integra las estimaciones de varianza de dos o más grupos para obtener una única estimación ponderada. Es esencial para las pruebas t de dos muestras cuando se asume igualdad de varianzas.
El concepto es directo: si creemos que dos grupos provienen de poblaciones con la misma variabilidad subyacente, podemos combinar sus datos para obtener una mejor estimación de esa variabilidad compartida. Más datos implican una estimación más precisa.
Pensalo de esta manera: si tenés 20 observaciones del Grupo A y 30 del Grupo B, y ambos grupos tienen la misma varianza verdadera, ahora contás con 50 observaciones para estimar esa varianza en lugar de estimarla por separado a partir de muestras más pequeñas.
Cuándo combinar
La fórmula del DE combinado
Para dos grupos, el desvío estándar combinado es:
Two-Group Pooled SD
Donde n₁ y n₂ son los tamaños de muestra, y s₁ y s₂ son los desvíos estándar muestrales.
Para k grupos (como en ANOVA), la fórmula se generaliza:
Multi-Group Pooled SD
Observá que la fórmula utiliza términos (n-1) tanto en el numerador como en el denominador. Esta ponderación asegura que las muestras más grandes contribuyan más a la estimación combinada, lo cual es apropiado porque las muestras más grandes proporcionan estimaciones de varianza más confiables.
Supuestos subyacentes
El desvío estándar combinado supone homogeneidad de varianzas, es decir, que todos los grupos comparten la misma varianza poblacional. Este supuesto importa especialmente cuando:
- Los tamaños de muestra son desiguales (particularmente problemático si el grupo más grande tiene menor varianza)
- La razón entre la varianza más grande y la más pequeña supera 2-3
- Los tamaños de muestra son pequeños (las muestras grandes son más robustas ante violaciones)
Cuando las varianzas difieren
Ejemplo resuelto
Escenario: Comparación de calificaciones entre dos cursos:
- Curso A: n₁ = 25, media = 78, s₁ = 12
- Curso B: n₂ = 30, media = 82, s₂ = 14
Cálculo del DE combinado:
sp = √[((25-1)(12)² + (30-1)(14)²) / (25+30-2)] sp = √[(24×144 + 29×196) / 53] sp = √[(3456 + 5684) / 53] sp = √[9140 / 53] = √172,45 = 13,13
El DE combinado de 13,13 se encuentra entre los DE individuales (12 y 14), ponderado hacia la muestra más grande. Este valor combinado se utilizaría luego en la fórmula de la prueba t o en el cálculo de la d de Cohen.
Aplicaciones estadísticas
- Prueba t para muestras independientes: el DE combinado se usa para calcular el error estándar de la diferencia entre medias.
- d de Cohen: los tamaños del efecto se estandarizan usando el DE combinado: d = (M₁ - M₂) / sp
- ANOVA: el cuadrado medio del error (CME) en ANOVA es esencialmente una estimación de la varianza combinada de todos los grupos.
- Metaanálisis: al combinar estudios, las estimaciones combinadas ayudan a estandarizar los efectos entre diferentes contextos.