Σ
SDCalc

Fórmulas y Metodología

Análisis profundo de las matemáticas detrás del desvío estándar.

Derivación Matemática

El desvío estándar mide la dispersión de los puntos de datos respecto a su media. Se deriva calculando la raíz cuadrada del promedio de los desvíos al cuadrado respecto a la media.

σ = √[ Σ(xᵢ − μ)² / N ]  (population)
s = √[ Σ(xᵢ − x̄)² / (n − 1) ]  (sample)
  1. 1Calculá la media (μ o x̄) sumando todos los valores y dividiendo por la cantidad.
  2. 2Restá la media de cada punto de datos para hallar el desvío (xᵢ − μ).
  3. 3Elevá al cuadrado cada desvío para eliminar los valores negativos (xᵢ − μ)².
  4. 4Sumá todos los desvíos al cuadrado: Σ(xᵢ − μ)².
  5. 5Dividí por N (población) o n−1 (muestra) para obtener la varianza.
  6. 6Sacá la raíz cuadrada de la varianza para obtener el desvío estándar.

Corrección de Bessel Explicada

Al estimar la varianza poblacional a partir de una muestra, dividir por n produce una estimación sesgada que subestima sistemáticamente la verdadera varianza. Friedrich Bessel demostró que dividir por (n − 1) en lugar de n corrige este sesgo. La intuición es que una muestra de tamaño n tiene solo (n − 1) grados de libertad porque la media muestral ya se usa en el cálculo, restringiendo uno de los desvíos.

s² = Σ(xᵢ − x̄)² / (n − 1)  ← unbiased
σ̂² = Σ(xᵢ − x̄)² / n  ← biased
  1. 1Con n puntos de datos, una vez conocida la media, solo (n − 1) desvíos pueden variar libremente.
  2. 2Usar n en el denominador tiende a subestimar la varianza poblacional.
  3. 3Usar (n − 1) proporciona un estimador insesgado: E[s²] = σ².
  4. 4Para muestras grandes (n > 30), la diferencia es insignificante.
  5. 5Para muestras chicas, la corrección puede mejorar significativamente la estimación.

Guía Visual de Cálculo

Entender el desvío estándar es más fácil con un enfoque visual paso a paso. Consideremos el conjunto de datos {4, 8, 6, 5, 3, 7, 8, 1}. La media es 5,25. Cada punto de datos se desvía de la media en una cantidad diferente. Al elevar al cuadrado estos desvíos, sumarlos, dividir por (n − 1) = 7 y sacar la raíz cuadrada, se obtiene el desvío estándar muestral s ≈ 2,49.

Data: {4, 8, 6, 5, 3, 7, 8, 1}
Mean: (4+8+6+5+3+7+8+1)/8 = 42/8 = 5.25
Σ(xᵢ−x̄)² = 1.5625 + 7.5625 + 0.5625 + 0.0625 + 5.0625 + 3.0625 + 7.5625 + 18.0625 = 43.5
s = √(43.5 / 7) ≈ 2.49
  1. 1Listá todos los valores de datos y calculá su media: x̄ = 5,25.
  2. 2Encontrá cada desvío: (4−5,25)=−1,25, (8−5,25)=2,75, (6−5,25)=0,75, ...
  3. 3Elevá al cuadrado cada desvío: 1,5625, 7,5625, 0,5625, 0,0625, 5,0625, 3,0625, 7,5625, 18,0625.
  4. 4Sumá los desvíos al cuadrado: 43,5.
  5. 5Dividí por (n−1) = 7: varianza s² = 43,5/7 ≈ 6,21.
  6. 6Sacá la raíz cuadrada: s ≈ 2,49.

Cita Académica

Al usar esta calculadora en trabajos académicos, podés citarla de la siguiente manera. La calculadora implementa las fórmulas estándar tanto para el desvío estándar poblacional como muestral, según se definen en los libros de texto de estadística introductoria.

standarddeviationcalculator.app. (2025). Standard Deviation Calculator [Online tool]. https://standarddeviationcalculator.app
  1. 1APA: standarddeviationcalculator.app. (2025). Standard Deviation Calculator [Online tool]. Retrieved from https://standarddeviationcalculator.app
  2. 2MLA: "Standard Deviation Calculator." standarddeviationcalculator.app, 2025, standarddeviationcalculator.app.
  3. 3Chicago: standarddeviationcalculator.app. "Standard Deviation Calculator." Accessed 2025. https://standarddeviationcalculator.app.
  4. 4IEEE: standarddeviationcalculator.app, "Standard Deviation Calculator," 2025. [Online]. Available: https://standarddeviationcalculator.app