O que é Variância?
A variância mede o quanto um conjunto de números está disperso em relação ao seu valor médio. É a média dos quadrados das diferenças em relação à média — e é a base sobre a qual o desvio padrão é construído.
Cada barra mostra o desvio ao quadrado em relação à média. Variância = média dessas barras.
Fórmula da Variância
Variância Populacional
σ² = Σ(xᵢ - μ)² / N
Variância Amostral
s² = Σ(xᵢ - x̄)² / (n-1)
1
Calcular a média
Some todos os valores e divida pela quantidade.
2
Encontrar cada desvio
Subtraia a média de cada ponto de dado.
3
Elevar cada desvio ao quadrado
Isso elimina valores negativos e enfatiza desvios grandes.
4
Calcular a média dos desvios ao quadrado
Divida por N (população) ou n-1 (amostra).
Por que Elevamos os Desvios ao Quadrado?
Três Razões Principais
1. Eliminar negativos: Sem elevar ao quadrado, desvios positivos e negativos se cancelariam, resultando em soma zero.
2. Penalizar outliers: Elevar ao quadrado dá mais peso a valores distantes da média.
3. Propriedades matemáticas: A variância possui propriedades algébricas úteis para inferência estatística.
Exemplo: Por que Não Usar Apenas Valores Absolutos?
Conjunto de dados: 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 (Média = 5)
Desvio Absoluto Médio:
|2-5| + |4-5| + ... = 14
DAM = 14/8 = 1,75
Variância (quadrado):
(2-5)² + (4-5)² + ... = 32
Var = 32/8 = 4
Variância vs Desvio Padrão
A Relação
Standard Deviation = √Variance → σ = √σ²
Variância (σ²)
- Unidades são ao quadrado (ex.: cm², R$²)
- Mais difícil de interpretar diretamente
- Útil para operações matemáticas
- Aditiva para variáveis independentes
Desvio Padrão (σ)
- Mesmas unidades dos dados originais
- Mais fácil de interpretar
- Melhor para comunicação
- Usado em escores z e intervalos de confiança
Aplicações da Variância
Embora o desvio padrão seja mais comumente reportado, a variância tem usos específicos:
- ANOVA:A Análise de Variância compara médias entre grupos
- Teoria de Portfólio:Variâncias dos retornos são usadas na otimização
- Regressão:R² é a variância explicada dividida pela variância total
- PCA:A Análise de Componentes Principais maximiza a variância explicada