Σ
SDCalc

Fórmulas e Metodologia

Análise aprofundada da matemática por trás do desvio padrão.

Derivação Matemática

O desvio padrão mede a dispersão dos pontos de dados em relação à sua média. É derivado calculando a raiz quadrada da média dos quadrados dos desvios em relação à média.

σ = √[ Σ(xᵢ − μ)² / N ]  (population)
s = √[ Σ(xᵢ − x̄)² / (n − 1) ]  (sample)
  1. 1Calcule a média (μ ou x̄) somando todos os valores e dividindo pela contagem.
  2. 2Subtraia a média de cada ponto de dados para encontrar o desvio (xᵢ − μ).
  3. 3Eleve ao quadrado cada desvio para eliminar valores negativos (xᵢ − μ)².
  4. 4Some todos os desvios ao quadrado: Σ(xᵢ − μ)².
  5. 5Divida por N (população) ou n−1 (amostra) para obter a variância.
  6. 6Extraia a raiz quadrada da variância para obter o desvio padrão.

A Correção de Bessel Explicada

Ao estimar a variância da população a partir de uma amostra, dividir por n produz uma estimativa viesada que sistematicamente subestima a verdadeira variância. Friedrich Bessel demonstrou que dividir por (n − 1) em vez de n corrige esse viés. A intuição é que uma amostra de tamanho n tem apenas (n − 1) graus de liberdade porque a média amostral já é utilizada no cálculo, restringindo um dos desvios.

s² = Σ(xᵢ − x̄)² / (n − 1)  ← unbiased
σ̂² = Σ(xᵢ − x̄)² / n  ← biased
  1. 1Com n pontos de dados, uma vez conhecida a média, apenas (n − 1) desvios são livres para variar.
  2. 2Usar n no denominador tende a subestimar a variância da população.
  3. 3Usar (n − 1) fornece um estimador não viesado: E[s²] = σ².
  4. 4Para amostras grandes (n > 30), a diferença é desprezível.
  5. 5Para amostras pequenas, a correção pode melhorar significativamente a estimativa.

Guia Visual de Cálculo

Entender o desvio padrão é mais fácil com uma abordagem visual passo a passo. Considere o conjunto de dados {4, 8, 6, 5, 3, 7, 8, 1}. A média é 5,25. Cada ponto de dados se desvia da média por uma quantidade diferente. Elevando esses desvios ao quadrado, somando-os, dividindo por (n − 1) = 7 e extraindo a raiz quadrada, obtemos o desvio padrão amostral s ≈ 2,49.

Data: {4, 8, 6, 5, 3, 7, 8, 1}
Mean: (4+8+6+5+3+7+8+1)/8 = 42/8 = 5.25
Σ(xᵢ−x̄)² = 1.5625 + 7.5625 + 0.5625 + 0.0625 + 5.0625 + 3.0625 + 7.5625 + 18.0625 = 43.5
s = √(43.5 / 7) ≈ 2.49
  1. 1Liste todos os valores dos dados e calcule sua média: x̄ = 5,25.
  2. 2Encontre cada desvio: (4−5,25)=−1,25, (8−5,25)=2,75, (6−5,25)=0,75, ...
  3. 3Eleve cada desvio ao quadrado: 1,5625, 7,5625, 0,5625, 0,0625, 5,0625, 3,0625, 7,5625, 18,0625.
  4. 4Some os desvios ao quadrado: 43,5.
  5. 5Divida por (n−1) = 7: variância s² = 43,5/7 ≈ 6,21.
  6. 6Extraia a raiz quadrada: s ≈ 2,49.

Citação Acadêmica

Ao usar esta calculadora em trabalhos acadêmicos, você pode citá-la da seguinte forma. A calculadora implementa as fórmulas padrão tanto para o desvio padrão populacional quanto amostral, conforme definido nos livros-texto de introdução à estatística.

standarddeviationcalculator.app. (2025). Standard Deviation Calculator [Online tool]. https://standarddeviationcalculator.app
  1. 1APA: standarddeviationcalculator.app. (2025). Standard Deviation Calculator [Online tool]. Retrieved from https://standarddeviationcalculator.app
  2. 2MLA: "Standard Deviation Calculator." standarddeviationcalculator.app, 2025, standarddeviationcalculator.app.
  3. 3Chicago: standarddeviationcalculator.app. "Standard Deviation Calculator." Accessed 2025. https://standarddeviationcalculator.app.
  4. 4IEEE: standarddeviationcalculator.app, "Standard Deviation Calculator," 2025. [Online]. Available: https://standarddeviationcalculator.app