¿Qué es la Varianza?
La varianza mide qué tan disperso está un conjunto de números respecto a su valor promedio. Es el promedio de las diferencias al cuadrado respecto a la media, y constituye la base sobre la cual se construye la desviación estándar.
Cada barra muestra la desviación al cuadrado respecto a la media. La varianza = promedio de estas barras.
Fórmula de la Varianza
Varianza Poblacional
σ² = Σ(xᵢ - μ)² / N
Varianza Muestral
s² = Σ(xᵢ - x̄)² / (n-1)
1
Calcular la media
Suma todos los valores y divide entre la cantidad.
2
Encontrar cada desviación
Resta la media de cada dato.
3
Elevar al cuadrado cada desviación
Esto elimina los valores negativos y enfatiza las desviaciones grandes.
4
Promediar las desviaciones al cuadrado
Divide entre N (población) o n-1 (muestra).
¿Por Qué Elevamos al Cuadrado las Desviaciones?
Tres Razones Clave
1. Eliminar negativos: Sin elevar al cuadrado, las desviaciones positivas y negativas se cancelarían, haciendo la suma igual a cero.
2. Penalizar valores extremos: Elevar al cuadrado da más peso a los valores lejanos de la media.
3. Propiedades matemáticas: La varianza tiene propiedades algebraicas útiles para la inferencia estadística.
Ejemplo: ¿Por Qué No Usar Solo Valores Absolutos?
Conjunto de datos: 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 (Media = 5)
Desviación Absoluta Media:
|2-5| + |4-5| + ... = 14
DAM = 14/8 = 1.75
Varianza (al cuadrado):
(2-5)² + (4-5)² + ... = 32
Var = 32/8 = 4
Varianza vs. Desviación Estándar
La Relación
Standard Deviation = √Variance → σ = √σ²
Varianza (σ²)
- Las unidades están al cuadrado (ej. cm², $²)
- Más difícil de interpretar directamente
- Útil para operaciones matemáticas
- Aditiva para variables independientes
Desviación Estándar (σ)
- Mismas unidades que los datos originales
- Más fácil de interpretar
- Mejor para la comunicación
- Se usa en puntuaciones z e intervalos de confianza
Aplicaciones de la Varianza
Aunque la desviación estándar se reporta con mayor frecuencia, la varianza tiene usos específicos:
- ANOVA:El Análisis de Varianza compara medias entre grupos
- Teoría de Portafolios:Las varianzas de los rendimientos se usan en la optimización
- Regresión:R² es la varianza explicada dividida entre la varianza total
- ACP:El Análisis de Componentes Principales maximiza la varianza explicada