Fórmula de la desviación estándar explicada: guía paso a paso

¿Qué es la fórmula de la desviación estándar?

La fórmula de la desviación estándar es la ecuación matemática que nos permite cuantificar qué tanta variación o dispersión hay en un conjunto de datos. Una desviación estándar baja indica que los valores tienden a estar cerca de la media (μ o x̄), mientras que una alta nos dice que los datos están más esparcidos en un rango más amplio de valores.

En estadística, la fórmula que debes usar depende de si estás trabajando con toda una población o con una muestra extraída de ella. La idea central consiste en calcular el promedio de las desviaciones al cuadrado respecto a la media, lo cual se conoce como varianza (σ²), y luego sacar la raíz cuadrada para regresar la medida a sus unidades originales.

Desviación estándar poblacional

σ = √[ Σ (xi - μ)² / N ]

σ (sigma): Desviación estándar poblacional
Σ (sigma): Sumatoria de...
xi: Cada valor individual en el conjunto de datos
μ (mu): Media poblacional
N: Número total de datos en la población

Desviación estándar poblacional vs. muestral

En el análisis de datos del mundo real, es raro tener la información de toda una población. La mayor parte del tiempo, recolectamos una muestra para hacer inferencias sobre la población más grande. Como la muestra solo estima la media poblacional, si calculamos la desviación estándar usando la fórmula poblacional en una muestra, subestimaremos la variabilidad real. Para corregir este sesgo, utilizamos la fórmula de la desviación estándar muestral.

Desviación estándar muestral

s = √[ Σ (xi - x̄)² / (n - 1) ]

¡No mezcles tus fórmulas!

Usar 'N' para una muestra o 'n-1' para una población dará como resultado una medida de dispersión incorrecta. La fórmula muestral con n-1 se conoce como corrección de Bessel y es estrictamente necesaria para obtener una estimación insesgada de la varianza poblacional.

Cálculo de la fórmula paso a paso

Calcular la desviación estándar a mano requiere un método sistemático. Siguiendo estos pasos, podrás calcular con precisión la desviación estándar poblacional o muestral de cualquier conjunto de datos.

Calcula la media

Suma todos los datos (Σxi) y divídelos entre el número total de puntos (N o n) para encontrar la media (μ o x̄).

Encuentra las desviaciones

Réstale la media a cada dato individual para obtener la desviación: (xi - media).

Eleva al cuadrado las desviaciones

Eleva al cuadrado cada una de las desviaciones calculadas en el paso anterior: (xi - media)². Esto asegura que todos los valores sean positivos.

Suma las desviaciones al cuadrado

Suma todas las desviaciones al cuadrado para encontrar la suma de cuadrados: Σ(xi - media)².

Divide entre N o n-1

Para una población, divide entre N. Para una muestra, divide entre (n - 1). Esto te dará la varianza (σ² o s²).

Obtén la raíz cuadrada

Saca la raíz cuadrada de la varianza para encontrar la desviación estándar (σ o s).

¿Por qué la fórmula muestral divide entre n-1?

Dividir entre n-1 en lugar de n es un concepto conocido como corrección de Bessel. Como la media muestral (x̄) se calcula a partir de los propios datos de la muestra, las desviaciones (xi - x̄) están obligadas matemáticamente a sumar cero. Esto significa que los datos están un poco más cerca de la media muestral de lo que lo están de la verdadera media poblacional (μ).

Al dividir entre n-1 (los grados de libertad), inflamos la varianza lo suficiente para compensar esta subestimación, obteniendo así un estimador insesgado de la varianza poblacional.

Sources

References and further authoritative reading used in preparing this article.

← Centro de Aprendizaje