Fórmula de la desviación estándar explicada paso a paso

¿Qué es la fórmula de la desviación estándar?

La fórmula de la desviación estándar es la ecuación matemática que se utiliza para cuantificar la cantidad de variación o dispersión en un conjunto de datos. Una desviación estándar baja indica que los datos tienden a estar cerca de la media (μ o x̄), mientras que una desviación estándar alta indica que los valores están más dispersos.

En estadística, la fórmula que debes usar depende de si estás trabajando con una población completa o con una muestra extraída de esa población. El concepto central consiste en calcular el promedio de las desviaciones cuadradas respecto a la media, lo que se conoce como varianza (σ²), y luego tomar la raíz cuadrada para volver a las unidades originales de medición.

Desviación estándar de la población

σ = √[ Σ (xi - μ)² / N ]

σ (sigma): Desviación estándar de la población
Σ (sigma): Sumatoria de...
xi: Cada valor individual del conjunto de datos
μ (mu): Media de la población
N: Cantidad total de datos en la población

Desviación estándar de población vs. muestra

En el análisis de datos del mundo real, es poco frecuente tener información de toda una población. Por lo general, tomamos una muestra para hacer inferencias sobre la población más grande. Como la muestra solo estima la media poblacional, calcular la desviación estándar usando la fórmula de la población sobre una muestra subestima la variabilidad real de forma sistemática. Para corregir este sesgo, usamos la fórmula de la desviación estándar de la muestra.

Desviación estándar de la muestra

s = √[ Σ (xi - x̄)² / (n - 1) ]

¡No confundas las fórmulas!

Usar 'N' para una muestra o 'n-1' para una población te dará una medida de dispersión incorrecta. La fórmula de la muestra con n-1 se conoce como corrección de Bessel y es estrictamente necesaria para obtener una estimación insesgada de la varianza poblacional.

Cálculo paso a paso de la fórmula

Calcular la desviación estándar manualmente requiere un método sistemático. Siguiendo estos pasos, podrás calcular con precisión la desviación estándar poblacional o muestral para cualquier conjunto de datos.

Calcular la media

Suma todos los datos (Σxi) y divide por la cantidad total de puntos (N o n) para encontrar la media (μ o x̄).

Encontrar las desviaciones

Resta la media a cada dato individual para obtener la desviación: (xi - media).

Elevar las desviaciones al cuadrado

Eleva al cuadrado cada una de las desviaciones calculadas en el paso anterior: (xi - media)². Esto garantiza que todos los valores sean positivos.

Sumar las desviaciones cuadradas

Suma todas las desviaciones cuadradas para obtener la suma de cuadrados: Σ(xi - media)².

Dividir por N o n-1

Para una población, divide por N. Para una muestra, divide por (n - 1). Esto te da la varianza (σ² o s²).

Calcular la raíz cuadrada

Toma la raíz cuadrada de la varianza para obtener la desviación estándar (σ o s).

¿Por qué la fórmula de la muestra divide por n-1?

Dividir por n-1 en lugar de n es un concepto conocido como corrección de Bessel. Como la media muestral (x̄) se calcula a partir de los datos de la muestra misma, las desviaciones (xi - x̄) están condicionadas matemáticamente a sumar cero. Esto significa que los datos están un poco más cerca de la media muestral que de la verdadera media poblacional (μ).

Al dividir por n-1 (los grados de libertad), aumentamos la varianza lo justo para compensar esta subestimación, lo que nos da un estimador insesgado de la varianza poblacional.

Sources

References and further authoritative reading used in preparing this article.

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