Standardafvigelsens Formel Forklaret: Trin-for-Trin Guide

Hvad er formlen for standardafvigelse?

Standardafvigelsens formel er den matematiske ligning, der bruges til at kvantificere omfanget af variation eller spredning i et sæt dataværdier. En lav standardafvigelse indikerer, at datapunkterne typisk ligger tæt på middelværdien (μ eller x̄), mens en høj standardafvigelse indikerer, at datapunkterne er spredt over et bredere interval af værdier.

Inden for statistik afhænger den formel, du skal bruge, af, om du arbejder med en hel population eller en stikprøve trukket fra denne population. Kernekonceptet indebærer beregning af gennemsnittet af de kvadrerede afvigelser fra middelværdien, kendt som variansen (σ²), og derefter at tage kvadratroden for at bringe målingen tilbage til de oprindelige enheder.

Standardafvigelse for population

σ = √[ Σ (xi - μ)² / N ]

σ (sigma): Standardafvigelse for population
Σ (sigma): Summen af...
xi: Hver enkelt værdi i datasættet
μ (mu): Middelværdi for population
N: Totalt antal datapunkter i populationen

Population vs. stikprøve-standardafvigelse

Ved analyse af virkelige data er det sjældent, at man har data for en hel population. Ofte indsamler vi en stikprøve for at drage slutninger om den større population. Fordi en stikprøve kun estimerer populationens middelværdi, vil beregning af standardafvigelsen ved hjælp af populationsformlen på en stikprøve systematisk undervurdere den sande variabilitet. For at korrigere for denne skævhed bruger vi formlen for stikprøvens standardafvigelse.

Standardafvigelse for stikprøve

s = √[ Σ (xi - x̄)² / (n - 1) ]

Forveksl ikke formlerne!

At bruge 'N' for en stikprøve eller 'n-1' for en population vil resultere i et forkert spredningsmål. Stikprøveformlen med n-1 er kendt som Bessels korrektion og er strengt krævet for en forventningsret estimation af populationsvariansen.

Trin-for-trin beregning af formlen

At beregne standardafvigelsen i hånden kræver en systematisk tilgang. Ved at følge disse trin kan du nøjagtigt beregne enten populationens eller stikprøvens standardafvigelse for ethvert datasæt.

Beregn middelværdien

Læg alle datapunkter sammen (Σxi) og divider med det samlede antal punkter (N eller n) for at finde middelværdien (μ eller x̄).

Find afvigelserne

Træk middelværdien fra hvert enkelt datapunkt for at finde afvigelsen: (xi - middelværdi).

Kvadrer afvigelserne

Kvadrer hver af de afvigelser, der blev beregnet i det forrige trin: (xi - middelværdi)². Dette sikrer, at alle værdier er positive.

Summer de kvadrerede afvigelser

Læg alle de kvadrerede afvigelser sammen for at finde summen af kvadrater: Σ(xi - middelværdi)².

Divider med N eller n-1

For en population divideres med N. For en stikprøve divideres med (n - 1). Dette giver dig variansen (σ² eller s²).

Tag kvadratroden

Tag kvadratroden af variansen for at finde standardafvigelsen (σ eller s).

Hvorfor dividerer stikprøveformlen med n-1?

At dividere med n-1 i stedet for n er et koncept kendt som Bessels korrektion. Fordi stikprøvens middelværdi (x̄) er beregnet ud fra selve stikprøvedataene, er afvigelserne (xi - x̄) matematisk tvunget til at summere til nul. Det betyder, at datapunkterne ligger lidt tættere på stikprøvens middelværdi, end de gør på den sande populationsmiddelværdi (μ).

Ved at dividere med n-1 (frihedsgraderne) oppuster vi variansen lige nok til at kompensere for denne undervurdering, hvilket giver en forventningsret estimator af populationsvariansen.

Sources

References and further authoritative reading used in preparing this article.

← Læringscenter